Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC="4" cm ，BC="3" cm，⊙O為△ABC的內切圓.
（1）求⊙O的半徑；
（2）點P從點B沿邊BA向點A以點1cm/s 的速度勻速運動，以點P為圓心，PB長為半徑作圓.設點P運動的時間為 t s.若⊙P與⊙O相切，求t的值.

Answer 1

（1）1 cm；（2）或2.

試題分析：（1）設⊙O與AB，BC，CA的切點分別為D，E，F(xiàn)，連接OD，OE，OF，根據(jù)切線的性質證明四邊形CEOF是正方形，由勾股定理求AB的長，把AD，BD用半徑r的代數(shù)式表示，從而根據(jù)列方程求解即可.
（2）為⊙P與⊙O外切和⊙P與⊙O內切兩種情況討論即可.
試題解析：（1）如圖，設⊙O與AB，BC，CA的切點分別為D，E，F(xiàn)，連接OD，OE，OF，
則AD=AF，BD=BE，CE=CF.
∵⊙O為△ABC的內切圓，∴OF⊥AC，OE⊥BC，即∠OFC=∠OEC=90°.
又∵∠C=90°，∴四邊形CEOF是矩形.
又∵OE=OF，∴四邊形CEOF是正方形.
設⊙O的半徑為r cm，則FC="EC=OE=" r cm，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC="4" cm ，BC="3" cm，∴.
∵，
∴，解得r=1.
∴⊙O的半徑為1 cm.

（2）如圖，過點P作PG⊥BC于點G，
∵∠PGB=∠C=90°，∴PG∥AC.∴△PBG∽△ABC.∴.
又∵BP=t，∴.
若⊙P與⊙O相切，，則可分為⊙P與⊙O外切和⊙P與⊙O內切兩種情況：
①如圖，當⊙P與⊙O外切時，連接OP，則OP=1+t.
過點P作PH⊥OE于點H，
∵∠PHE=∠HEG=∠PGE=90°，∴四邊形PHEG是矩形.∴HE=PG，PH=GE.
∴.
在Rt△OPH中，由勾股定理，得，解得.

②如圖，當⊙P與⊙O內切時，連接OP，則OP=.
過點O作OM⊥PG于點M，
∵∠MGE=∠OEG=∠OMG=90°，∴四邊形OEGM是矩形.∴MG=OE，OM=EG.
∴.
在Rt△OPM中，由勾股定理，得，解得.
綜上所述，當⊙P與⊙O相切時，或2.