Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、E、F分別在BC、AB、AC邊上，且BE=CF，AD+EC=AB．
（1）求證：△DEF是等腰三角形；
（2）當∠A=40°時，求∠DEF的度數(shù)；
（3）△DEF可能是等腰直角三角形嗎？為什么？
（4）請你猜想：當∠A為多少度時，∠EDF+∠EFD=120°，并請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用全等三角形得出兩邊相等即可．
（2）簡單的角度的計算，由∠A可先求出∠B，∠C的大小，進而求出∠DEF的大小，
（3）等腰直角三角形的判定，可先假設其成立，再進行驗證．
（4）先猜想出∠A的度數(shù)，再由全等三角形的判定定理得出△DBE≌△ECF，再根據(jù)全等三角形的對應角11相等即可得出結論．

解答：（1）證明：∵AB=AC
∴∠B=∠C．
在△DBE和△ECF中
∵

BE=CF ∠B=∠C BD=EC

，
∴△DBE≌△ECF（SAS）．
∴DE=EF．
∴DEF是等腰三角形．

（2）解：∠A=40°，∠B=∠C，
∴∠B=∠C=70°．
∴∠BDE+∠DEB=110°．
△DBE≌△ECF．
∴∠FEC=∠BDE，
∴∠FEC+∠DEB=110°，
∴∠DEF=70°．

（3）解：假設△DEF是等腰直角三角形即∠DEF=90°，
∴∠BDE+∠DEB=90°．
∴∠B=∠C=90°．
∴這與三角形的內角和定理相矛盾，
∴△DEF不可能是等腰直角三角形．

（4）猜想∠A=60°時，∠EDF+∠EFD=120°．
∵∠A=60°，∠B=∠C，
∴∠B=∠C=60°．
∴∠BDE+∠DEB=120°．
∵△DBE≌△ECF．
∴∠FEC=∠BDE，
∴∠FEC+∠DEB=120°，
∴∠DEF=60°．
∴∠EDF+∠EFD=120°．

點評：本題考查了等腰三角形的判定及性質及全等三角形的性質及判定定理；其中的反證法是一種很重要的方法，注意掌握．