Question

【題目】如圖，中，，，是由繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)()得到的，連接，相交于點.

（1）求證：；

（2）當四邊形為菱形時，求的長.

（3）若順時針方向旋轉(zhuǎn)，猜想四邊形是菱形嗎？若是，請寫出證明過程；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）四邊形是菱形，理由見解析

【解析】

（1）先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，則，即，利用可得，于是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義，可由繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到；
（2）由菱形的性質(zhì)得到，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，根據(jù)平行線得性質(zhì)得，所以，于是可判斷△ABE為等腰直角三角形，所以，于是利用求解．

（3）由旋轉(zhuǎn)得到，并，所以和為等腰直角三角形，則可以得到，所以四邊形是平行四邊形，根據(jù)，所以四邊形是菱形.

證明：（1）∵是由繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到的，

∴，

∴，

即

∵，
∴，
∴可由繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，

∴

（2）∵四邊形是菱形，

∴，

∴，

∴

∴為等腰直角三角形

∴

∴

（3）四邊形是菱形，理由如下：

∵順時針方向旋轉(zhuǎn)

∴

∵

∴和為等腰直角三角形

∴

又∵

∴，

∴

∴四邊形是平行四邊形

又∵

∴四邊形是菱形