Question

已知平行四邊形ABCD四個頂點到動直線l的距離分別為a、b、c、d，
（1）如圖①，當直線l在平行四邊形ABCD外時，證明：a+c=b+d；
（2）當直線l移動至與平行四邊形ABCD相交（l與邊不平行）時，上述關(guān)系還成立嗎？若成立，試給予證明，若不成立，試找出a、b、c、d之間的關(guān)系，并給予證明．

Answer 1

分析：（1）作輔助線，利用中位線定理求解，
（2）先假設(shè)，通過作圖輔助驗證，然后一步步得出結(jié)論，再由所得出的結(jié)論找出a、b、c、d之間的關(guān)系，再進一步進行驗證，即證明結(jié)論正確．題中直線l移動至與平行四邊形ABCD相交，存在多種情況，
①當四個頂點中一個頂點在直線的一側(cè)（不妨設(shè)是D）而另外三個頂點在另一側(cè)；
②當有兩個頂點在一側(cè)（不妨設(shè)A，D），另外兩個頂點在另一側(cè)；
③當直線只過某一頂點，（設(shè)過頂點A，點D在直線的一側(cè)，B，C在直線的另一側(cè)）；
④當直線與對角線重合時（不妨設(shè)是AC）
然后再對每一種情況進行分析．

解答：解：（1）如圖所示，連AC，BD相交于點O，過點O作OP⊥L于P，

由題意可得，OP為AA₁CC₁的中位線，∴a+c=2OP，
同理，b+d=2OP，∴a+c=b+d．

（2）當直線l移動至與平行四邊形ABCD相交時，上述關(guān)系不成立，以下幾種情況說明：
①當四個頂點中一個頂點在直線的一側(cè)（不妨設(shè)是D）而另外三個頂點在另一側(cè)，則有b=a+c+d．
證明：如圖所示，

由（1）可知，a+c=2OP，連DB₁，過點O作OP⊥L于P，交DB₁于Q，
則OQ為△DBB₁的中位線，故OQ=

BB1

2

=

b

2

，同理，PQ=

d

2

，
所以O(shè)P=OQ-PQ=

b

2

 - 

d

2

，即，b-d=2OP，
所以a+c=b-d
即b=a+c+d．
②當有兩個頂點在一側(cè)（不妨設(shè)A，D），另外兩個頂點在另一側(cè)，則有a+b=c+d．
證明：如圖所示，在①中有b-d=2OP，連接AC₁，延長OP交AC₁于R，

則PR為△AA₁C₁的中位線，故PR=

AA1

2

=

a

2

，同理，OR=

c

2

，所以O(shè)P=OR-PR=

c

2

 - 

a

2

，即c-a=2OP，
所以，c-a=b-d，
即a+b=c+d．
③當直線只過某一頂點，（設(shè)過頂點A，點D在直線的一側(cè)，B，C在直線的另一側(cè)）則b=d+2c
④當直線與對角線重合時（不妨設(shè)是AC）則b=d．

點評：熟練掌握勾股定理以及平行四邊形的性質(zhì)，能夠運用三角形中位線定理，會通過建立等效平衡找出幾個不同量之間的關(guān)系．