Question

如圖，已知BC是⊙O的直徑，P是⊙O上一點，A是

BP

的中點，AD⊥BC于點D，BP與AD相交于點E．
（1）當BC=6且∠ABC=60°時，求

AB

的長；
（2）求證：AE=BE．
（3）過A點作AM∥BP，求證：AM是⊙O的切線．

Answer 1

（本題滿分6分）
（1）連接OA，AB，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BAC=90°，
∵∠ABC=60°，
∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=60°，
又∵OB=

1

2

BC=

1

2

×6=3，
∴AB弧的長為：l=

2πR

6

=

2×π×3

6

=π；

（2）證明：∵點A是

BP

的中點，
∴

BA

=

AP

，
∴∠C=∠ABP．
∵BC為⊙O的直徑，
∴∠BAC=90°，
即∠BAD+∠CAD=90°．
又∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠BAD=∠C，
∴∠ABP=∠BAD，
∴AE=BE；

（3）證明：∵A是

BP

的中點，
∴AO⊥BP，
∵AM∥BP，
∴AM⊥AO，
即AM是⊙O的切線．