Question

如圖，Rt△ABC的直角邊BC在x軸正半軸上，斜邊AC上的中線BD反向延長線交y軸負半軸于E，雙曲線y=

k

x

(x＞0)的圖象經(jīng)過點A，若S_△BEC=8，則k=

 

．

Answer 1

分析：方法1：因為S_△BEC=8，根據(jù)k的幾何意義求出k值即可；
方法2：先證明△ABC與△OBE 相似，再根據(jù)相似三角形的對應邊成比例列式整理即可得到k=2S_△BEC=16．

解答：解：方法1：設OB=x，則AB=

k

x

，
過D作DH⊥x軸于H，
∵D為AC中點，
∴DH為△ABC中位線，
∴DH=

1

2

AB=

k

2x

，
∵∠EBO=∠DBC=∠DCB，
∴△ABC∽△EOB，
設BH為y，
則EO=

k

2y

，BC=2y，
∴S_△EBC=

1

2

BC•OE=

1

2

•

k

2y

•2y=

k

2

=8，
∴k=16．
方法2：∵BD是Rt△ABC斜邊上的中線，
∴BD=CD=AD，
∴∠DBC=∠ACB，
又∠DBC=∠OBE，∠BOE=∠ABC=90°，
∴△ABC∽△EOB，
∴

AB

OE

=

BC

OB

，
∴AB•OB=BC•OE，
∵S_△BEC=

1

2

×BC•OE=8，
∴AB•OB=16，
∴k=xy=AB•OB=16．
故答案為：16．

點評：主要考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式和反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義．反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義為：反比例函數(shù)圖象上的點的橫縱坐標之積是定值k，同時|k|也是該點到兩坐標軸的垂線段與兩坐標軸圍成的矩形面積．本題綜合性強，考查知識面廣，能較全面考查學生綜合應用知識的能力．