Question

（2013•安陽一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-

1

2

x²+bx+c的圖象與直線y=-

1

2

x+3交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，1）．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）過點(diǎn)A作AC⊥AB交x軸于點(diǎn)C．
①求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
②在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得△PAC的周長最��？若存在，求出此時PA+PC的值；若不存在，說明理由；
③除點(diǎn)C外，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAB為直角三角形？若存在，直接寫出所有能使△QAB為直角三角形點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先由y=-

1

2

x+3，可得與y軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)，再把B（4，1）和A（0，3）代入y=-

1

2

x²+bx+c，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的函數(shù)解析式；
（2）①設(shè)直線AB與x軸交于點(diǎn)D，則D（6，0），由△AOC∽△DOA可得，OC=

3

2

，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-

3

2

，0）；
②由拋物線：y=-

1

2

x²+

3

2

x+3，可得其對稱軸為直線x=

3

2

，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x=

3

2

的對稱點(diǎn)為A′（3，3），連接A′C交直線x=

3

2

于點(diǎn)P，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短可知，此時PA+PC的值最小，即△PAC的周長的值最小，運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式求出A′C的長度，即為此時PA+PC的值；
③由于以A為直角頂點(diǎn)時，過A點(diǎn)作AB的垂線與坐標(biāo)軸交于C，所以△QAB為直角三角形時，分兩種情況討論：（i）以B為直角頂點(diǎn)；（ii）以Q為直角頂點(diǎn)．

解答：解：（1）∵y=-

1

2

x+3，
∴x=0時，y=3，即A的坐標(biāo)為（0，3）．
把B（4，1）和A（0，3）代入y=-

1

2

x²+bx+c，
得

-8+4b+c=1 c=3

，解得

b= 3 2 c=3

，
∴拋物線的函數(shù)解析式為y=-

1

2

x²+

3

2

x+3；

（2）①如圖，設(shè)直線AB：y=-

1

2

x+3與x軸交于點(diǎn)D，則D（6，0）．
在△AOC與△DOA中，

∠AOC=∠DOA=90° ∠OAC=∠ODA=90°-∠OAD

，
∴△AOC∽△DOA，
∴

OC

OA

=

OA

OD

，即

OC

3

=

3

6

，
解得OC=

3

2

，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-

3

2

，0 ）；

②在拋物線的對稱軸上存在一點(diǎn)P，能夠使得△PAC的周長最小．理由如下：
∵y=-

1

2

x²+

3

2

x+3=-

1

2

（x-

3

2

）²+

33

8

，
∴對稱軸為直線x=

3

2

．
設(shè)點(diǎn)A（0，3）關(guān)于直線x=

3

2

的對稱點(diǎn)為A′（3，3），連接A′C交直線x=

3

2

于點(diǎn)P，連接PA，則PA=PA′，
此時PA+PC=PA′+PC=A′C，值最小，即△PAC 的周長的值最小．
∵A′（3，3），C（-

3

2

，0 ），
∴A′C=

(3+ 3 2 )2+32

=

3 13

2

；
∴此時PA+PC=

3 13

2

；

③分兩種情況：
（i）以B為直角頂點(diǎn)時，過B點(diǎn)作AB的垂線與x軸交于點(diǎn)Q₁，與y軸交于點(diǎn)Q₂，
易求直線BQ₁的解析式為y=2x-7，所以Q₁（

7

2

，0），Q₂（0，-7）；
（ii）以Q為直角頂點(diǎn)時，以AB為直徑作圓交x軸于Q₃，Q₄，與y軸交于點(diǎn)Q₅，
以AB為直徑的圓的方程為（x-2）²+（y-2）²=5，
當(dāng)y=0時，x=1或3，所以Q₃（1，0），Q₄（3，0）；
當(dāng)x=0時，y=1或3，所以Q₅（0，1）．
綜上可知，所求點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Q₁（

7

2

，0），Q₂（0，-7），Q₃（1，0），Q₄（3，0），Q₅（0，1）．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱-最短路線問題，直角三角形的判定，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論是解題的關(guān)鍵．