Question

（2009•遂寧）如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點D（0，），且頂點C的橫坐標(biāo)為4，該圖象在x軸上截得的線段AB的長為6．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）在該拋物線的對稱軸上找一點P，使PA+PD最小，求出點P的坐標(biāo)；
（3）在拋物線上是否存在點Q，使△QAB與△ABC相似？如果存在，求出點Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了頂點的橫坐標(biāo)，可用頂點式來設(shè)二次函數(shù)的解析式如：y=a（x-4）²+k，根據(jù)二次函數(shù)過點（0，），可得出=16a+k；由于A、B關(guān)于x=4對稱，且AB=6，不難得出A、B的坐標(biāo)為（1，0），（7，0），可將它們的坐標(biāo)代入解析式中即可求出a、k的值．
（2）本題的關(guān)鍵是確定P的位置，由于對稱軸垂直平分AB，因此P不論在對稱軸的什么位置都有PA=PB，連接DB，如果P是交點時，PA+PD的長就是BD的長，兩點之間線段最短，因此要想PA+PD最小，P必為DB與對稱軸的交點．可根據(jù)B、D的坐標(biāo)求出BD所在直線的解析式，然后求出與拋物線對稱軸的交點．即可得出P點的坐標(biāo)．
（3）由于三角形ABC是等腰三角形，要想使QAB與三角形ABC相似，三角形QAB必須為等腰三角形．要分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)Q在x軸下方時，Q，C重合，Q點的坐標(biāo)就是C點的坐標(biāo)．
②當(dāng)Q在x軸上方時，應(yīng)該有兩個符合條件的點，拋物線的對稱軸左右兩側(cè)各一個，且這兩點關(guān)于拋物線的對稱軸相對稱．因此只需求出一點的坐標(biāo)即可．以AQ=AB為例：可過Q作x軸的垂線，在構(gòu)建的直角三角形中，根據(jù)BQ即AB的長以及∠QBx的度數(shù)來求出Q的坐標(biāo)．然后根據(jù)對稱性求出另外一點Q的坐標(biāo)．
解答：解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a（x-h）²+k
∵頂點C的橫坐標(biāo)為4，且過點（0，）
∴y=a（x-4）²+k，=16a+k①
又∵對稱軸為直線x=4，圖象在x軸上截得的線段長為6
∴A（1，0），B（7，0）
∴0=9a+k②
由①②解得a=，k=-
∴二次函數(shù)的解析式為：y=（x-4）²-

（2）∵點A、B關(guān)于直線x=4對稱
∴PA=PB
∴PA+PD=PB+PD≥DB
∴當(dāng)點P在線段DB上時PA+PD取得最小值
∴DB與對稱軸的交點即為所求點P
設(shè)直線x=4與x軸交于點M
∵PM∥OD，
∴∠BPM=∠BDO，
又∵∠PBM=∠DBO
∴△BPM∽△BDO
∴
∴
∴點P的坐標(biāo)為（4，）

（3）由（1）知點C（4，），
又∵AM=3，
∴在Rt△AMC中，cot∠ACM=，
∴∠ACM=60°，
∵AC=BC，
∴∠ACB=120°
①當(dāng)點Q在x軸上方時，過Q作QN⊥x軸于N

如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有
BQ=6，∠ABQ=120°，則∠QBN=60°
∴QN=3，BN=3，ON=10，
此時點Q（10，），
如果AB=AQ，由對稱性知Q（-2，）
②當(dāng)點Q在x軸下方時，△QAB就是△ACB，
此時點Q的坐標(biāo)是（4，），
經(jīng)檢驗，點（10，）與（-2，）都在拋物線上
綜上所述，存在這樣的點Q，使△QAB∽△ABC
點Q的坐標(biāo)為（10，）或（-2，）或（4，）．
點評：本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點．要注意（2）中確定P點位置的方法．在（3）中不確定Q位置的情況下要分類進(jìn)行討論，不要漏解．