Question

【題目】拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且．直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)直線上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

（1）連接，求證：四邊形是平行四邊形；

（2）連接，，當(dāng)為何值時(shí)？

（3）在直線上是否存在一點(diǎn)，使為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）0或1；（3）存在，或

【解析】

（1）分別求出點(diǎn)A，B，E的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為交點(diǎn)式，代入點(diǎn)C的坐標(biāo)，求出拋物線的解析式，進(jìn)而可求出CQ的長(zhǎng)和直線CQ的解析式，同時(shí)求出AE的長(zhǎng)和AE的解析式，推出，CQ∥AE即可證得四邊形是平行四邊形；

（2）根據(jù)題意將△APD的面積和△DAB的面積表示出來(lái)，令其相等，即可解出m的值；

（3）分∠QOH=90°、∠PQH=90°、∠QHP=90°三種情況，分別求解即可．

解：（1）證明：連接，，如圖所示，直線與拋物線交于點(diǎn)，則點(diǎn)，點(diǎn)．∵，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，

設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，

解得，∴拋物線的表達(dá)式為，

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，故點(diǎn)的坐標(biāo)為．∴，

的解析式為，又∵，直線的解析式為，

∴，CQ∥AE，∴四邊形是半行四邊形．

（2）∵，∴，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．

如圖1，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，

∴，

解得或1．

（3）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．

設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，，而點(diǎn)，

①當(dāng)時(shí)，如圖2，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)作軸的平行線，交過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線于點(diǎn)，，

∵，，

∴，∵，，

∴，∴，，

即，，解得．當(dāng)時(shí)，，解得，（舍去）∴點(diǎn)．

②當(dāng)時(shí)，如圖3所示，

同理可得，（舍去），故點(diǎn)坐標(biāo)為．

③當(dāng)時(shí)，如圖4所示，

同理可得，解得（舍去），．點(diǎn)．

綜上可得，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．