Question

Rt△ABC在直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖1所示，反比例函數(shù)y=

k

x

(k≠0)在第一象限內(nèi)的圖象與BC邊交于點(diǎn)D（4，m），與AB邊交于點(diǎn)E（2，n），△BDE的面積為2．
（1）求m與n的數(shù)量關(guān)系；
（2）當(dāng)tan∠A=

1

2

時(shí)，求反比例函數(shù)的解析式和直線AB的表達(dá)式；
（3）設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)F，點(diǎn)P在射線FD上，在（2）的條件下，如果△AEO與△EFP相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）將D（4，m）、E（2，n）代入反比例函數(shù)y=

k

x

解析式，進(jìn)而得出n，m的關(guān)系；
（2）利用△BDE的面積為2，得出m的值，進(jìn)而得出D，E，B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)關(guān)系式即可；
（3）利用△AEO與△EFP 相似存在兩種情況，分別利用圖形分析得出即可．

解答：解：（1）∵D（4，m）、E（2，n）在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，
∴

4m=k 2n=k.

整理，得n=2m．；

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC，垂足為H．
在Rt△BEH中，tan∠BEH=tan∠A=

1

2

，
EH=2，所以BH=1．
因此D（4，m），E（2，2m），B（4，2m+1）．
已知△BDE的面積為2，
所以

1

2

BD•EH=

1

2

(m+1)×2=2．
解得m=1．
因此D（4，1），E（2，2），B（4，3）．
因?yàn)辄c(diǎn)D（4，1）在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，
所以k=4．
因此反比例函數(shù)的解析式為y=

4

x

．    
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，代入B（4，3）、E（2，2），
得

3=4k+b 2=2k+b.

解得：

k= 1 2 b=1

．
因此直線AB的函數(shù)解析式為y=

1

2

x+1． 

（3）因?yàn)橹本�y=

1

2

x+1與y軸交于點(diǎn)F（0，1），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，1），
所以FD∥x軸，∠EFP=∠EAO．
因此△AEO與△EFP 相似存在兩種情況：
①如圖2，當(dāng)

EA

AO

=

EF

FP

時(shí)，

2 5

2

=

5

FP

解得FP=1．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）．
②如圖3，當(dāng)

EA

AO

=

FP

EF

時(shí)，

2 5

2

=

FP

5

．
解得FP=5．
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，1）．
綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，1），（5，1）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用以及待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式和相似三角形的判定等知識(shí)，根據(jù)已知得出△AEO與△EFP相似包括兩種情況是解題關(guān)鍵．