Question

已知二次函數y=x²+2x+m的圖象C₁與x軸有且只有一個公共點。
（1）求C₁的頂點坐標；
（2）將C₁向下平移若干個單位后，得拋物線C₂，如果C₂與x軸的一個交點為A（-3，0），求C₂的函數關系式，并求C₂與x軸的另一個交點坐標；
（3）若P（n，y₁），Q（2，y₂）是C₁上的兩點，且y₁＞y₂，求實數n的取值范圍。

Answer 1

解：（1）y=x²+2x+m=（x+1）²+m-1，對稱軸為x=-1，
∵與x軸有且只有一個公共點，
∴頂點的縱坐標為0，
∴C₁的頂點坐標為（-1，0）；
（2）設C₂的函數關系式為y=（x+1）²+k，
把A（-3，0）代入上式得（-3+1）²+k=0得k=-4，
∴C₂的函數關系式為y=（x+1）²-4，
∵拋物線的對稱軸為x=-1，
與x軸的一個交點為A（-3，0），
由對稱性可知，它與x軸的另一個交點坐標為（1，0）；
（3）當x≥-1時，y隨x的增大而增大，
當n≥-1時，∵y₁＞y₂，∴n＞2；
當n＜-1時，P（n，y₁）的對稱點的坐標為（-2-n，y₁），且-2-n≥-1，
∵y₁＞y₂，
∴-2-n＞2，
∴n＜-4，
綜上所述：n＞2或n＜-4。