Question

如圖9，平行四邊形中，，，為銳角，.為線段上的一個動點（不包括端點），，交射線于點，交射線于點.

小題1:若點在線段上，求與的周長之和
小題2:判斷在點的運動過程中，與是否會相似？如果相似，請求出的長；如果不相似，請說明理由.

Answer 1

小題1:方法一：
如圖，過點作于，
∵，
，
∴.    ……………………………………………………… 1分
在平行四邊形中，∥，， 
∴，又，∴四邊形為矩形.
∴，，                    ………………………………………… 2分
在中，，=，
可求得，.                   ……………………………………………… 3分
∴，.         
∴.            ……………………………………………… 4分
方法二：
設，∵，∴，.                ……… 1分
在平行四邊形中，∥，，
∴，CG=BCBG=105k，.
∴在中， GF=84k，CF=63k.                    ……………………………… 3分
∴

= 24.                    ……………………………………………………… 4分
小題2:①當時，設，
∵，∴，，，.
∵   
∴要使與相似，需滿足或.
當時，
                       ………………………………………………………5分
∴                              ………………………………………………………6分
此時，，滿足.
當 時，
                             ………………………………………………7分
∴ 或                      ………………………………………………………8分
此時，或14，不滿足.     …………………………………………………… 9分
∴當時，與相似.
②當時，點與點重合，不存在與相似. ………………  10分
③當時，

∵∥，∥，是銳角
∴是鈍角
又∵，∴也是銳角，
∴.
∵，，
又∵   
∴，且，
∴當時，不存在與相似. …………………………………… 11分
綜上所述，當時，與相似

（1）設，由
得，，即可求得與的周長
（2）分三種情況討論：①當時；②當時；③當時；