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        1. 已知:如圖,點C是線段AB上的任意一點(點C與A、B點不重合),分別以AC、BC為邊在直線AB的同側(cè)作等邊△ACD和等邊△BCE,AE與CD相交于點M,BD和CE相交于點N.
          (1)求證:△ACE≌△DCB;
          (2)如果AB的長為10cm,MN=ycm,AC=xcm.
          ①請寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并指出自變量的取值范圍.
          ②當(dāng)點C在何處時MN的長度最長?并求MN的最大長度.
          分析:(1)先根據(jù)△ACD和△BCE是等邊三角形可得出AC=CD,BC=CE,∠ACD=∠BCE=60°,故可得出∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,∠DCB=∠ACE,由SAS定理即可得出結(jié)論;
          (2)①由(1)中的結(jié)論得出△ACM≌△DCN,即CM=CN,△MCN是等邊三角形可得出MN∥AB,可先假設(shè)其存在,設(shè)AC=x,MN=y,進而由平行線分線段成比例即可得出結(jié)論;
          ②由①中y與x的函數(shù)關(guān)系式可直接得出結(jié)論.
          解答:(1)證明:∵△ACD和△BCE是等邊三角形,
          ∴AC=CD,BC=CE,∠ACD=∠BCE=60°,
          ∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,∠DCB=∠ACE,
          在△ACE與△DCB中,
          AC=CD
          ∠DCB=∠ACE
          BC=CE

          ∴△ACE≌△DCB;

          (2)①∵△ACE≌△DCB,
          ∴∠CAE=∠BDC,
          ∴△ACM≌△DCN,
          ∴CM=CN,
          又∵∠MCN=180°-60°-60°=60°,
          ∴△MCN是等邊三角形,
          ∴∠MNC=∠NCB=60°,
          ∴MN∥AB.
          MN
          AC
          =
          EN
          EC
          ,
          ∵AB的長為10cm,MN=ycm,AC=xcm.
          y
          x
          =
          10-x-y
          10-x
          ,即y=-
          1
          10
          x2+x(0<x<10);

          ②∵由①可知,y=-
          1
          10
          x2+x(0<x<10),即y=-
          1
          10
          (x-5)2+2.5;
          ∴當(dāng)x=5時,MN的值最大,MN的最大長度為2.5cm,即當(dāng)C點是AB中點時,線段MN的最大長度是2.5cm.
          點評:本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的最值問題,涉及面較廣,難度適中.
          練習(xí)冊系列答案
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