Question

對于正數(shù)x，規(guī)定f（x）=

x2

1+x2

，
（1）計算f（2）=

 

；f（

1

2

）=

 

；f（2）+f（

1

2

）=

 

；f（3）+f（

1

3

）=

 

；…
（2）猜想f（x）+f(

1

x

)=

 

，請予以證明．
（3）現(xiàn)在你會計算f(

1

2010

)+f（

1

2009

）+f（

1

2008

）+f（

1

2007

）+f（

1

2006

）+…f（

1

3

）+f（

1

2

）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2006）+f（2007）+f（2008）+f（2009）+f（2010）的值了嗎，寫出你的計算過程．

Answer 1

分析：（1）將x=2，

1

2

，3，

1

3

代入f（x）=

x2

1+x2

，計算即可；
（2）對（1）的結(jié)果進行分析，找出其規(guī)律；
（3）利用f（x）+f(

1

x

)=1，先計算f（1）=

1

2

；f（2）+f（

1

2

）=1；f（3）+f（

1

3

）=1；…f（2010）+f（

1

2010

）=1，再求和即可．

解答：解：（1）f（2）=

4

5

；f（

1

2

）=

1

5

；f（2）+f（

1

2

）=1；f（3）+f（

1

3

）=1；

（2）f（x）+f(

1

x

)=1；
證明：f（x）+f(

1

x

)=

x2

1+x2

+

1 x2

1+ 1 x2

=

x2

1+x2

+

1

1+x2

=

1+x2

1+x2

=1．

（3）原式=[f(

1

2010

)+f（2010）]+[f（

1

2009

）+f（2009）]+[f（

1

2008

）+f（2008）]+[f（

1

2007

）+f（2007）]+[f（

1

2006

）+f（2006）]+…+[f（

1

3

）+f（3）]+[f（

1

2

）+f（2）]+f（1）=2009+

1

2

=2009

1

2

．

點評：本題是一道找規(guī)律的題目，要求學生通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題．根據(jù)題中所給的材料獲取所需的信息和解題方法是需要掌握的基本技能．