Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C，D在⊙O上兩點，連接AD，CD．

（1）如圖1，點P是AC延長線上一點，∠APB＝∠ADC，求證：BP與⊙O相切；

（2）如圖2，點G在CD上，OF⊥AC于點F，連接AG并延長交⊙O于點H，若CD為⊙O的直徑，當∠CGB＝∠HGB，BG＝2OF＝6時，求⊙O半徑的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2

【解析】

（1）如圖1，連接BC，根據圓周角定理得到∠ACB＝90°，得到∠ABC＝∠P，求得∠ABP＝90°，于是得到結論；

（2）如圖2中，連接BC，BH，作BM⊥CD于M，AN⊥CD于N．想辦法證明OM＝ON＝GN，MG＝DN，設OM＝ON＝a，構建方程求出a即可解決問題．

解：（1）如圖1，連接BC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ABC+∠BAC＝90°，

∵∠ABC＝∠D，∠D＝∠P，

∴∠ABC＝∠P，

∴∠P+∠PAB＝90°，

∴∠ABP＝90°，

∴BP與⊙O相切；

（2）如圖2，連接BC，BH，作BM⊥CD于M，AN⊥CD于N．

∵CD，AB是直徑，

∴OA＝OD＝OC＝OB，∵∠AOD＝∠BOC，

∴△AOD≌△BOC（SAS），

∴AD＝BC＝2OF＝6，

∵OA＝OB，∠AON＝∠BOM，∠ANO＝∠BMO＝90°，

∴△AON≌△BOM（AAS），

∴OM＝ON，AN＝BM，設OM＝ON＝a，

∵∠CGB＝∠HGB，

∴∠OGH＝2∠CGB，

∵∠BOG＝∠OCB+∠OBC＝2∠GCB，∠GCB＝∠BGC，

∴∠BOG＝∠OGH，

∴∠AOG＝∠AGO，

∴AO＝AG，

∵AN⊥OG，

∴ON＝NG＝a，

∵BG＝AD，BM＝AN，∠AND＝∠BMG＝90°，

∴Rt△BMG≌Rt△AND（HL），

∴MG＝DN＝3a，OD＝OA＝OB＝OC＝4a，

∴BM＝＝a，

在Rt△CBM中，∵BC2＝BM2+CM2，

∴36＝15a2+9a2，

∵a＞0，

∴a＝，

∴MG＝CM＝3a＝，

∴DG＝2a＝，

∴CD＝2×+＝4，

∴⊙O半徑的長為2．