Question

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，反比例函數(shù)和二次函數(shù)y=k（x²+x-1）的圖象交于點(diǎn)A（1，k）和點(diǎn)B（-1，-k）．
（1）當(dāng)k=-3時(shí)，求反比例函數(shù)的解析式；
（2）在（1）的條件下，在第四象限中，x為何值，反比例函數(shù)小于二次函數(shù)？
（3）要使反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是y隨著x的增大而增小，求k應(yīng)滿足的條件以及x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)k的值確定點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=

m

x

，利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式解答即可；
（2）寫(xiě)出反比例函數(shù)圖象在二次函數(shù)圖象下方的部分的x的取值范圍即可；
（3）根據(jù)反比例函數(shù)的增減性確定出k的取值范圍，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性求出x在對(duì)稱(chēng)軸左邊的部分的取值范圍即可．

解答：解：（1）當(dāng)k=-3時(shí)，A（1，-3），
∵A在反比例函數(shù)圖象上，
∴設(shè)反比例函數(shù)的解析式為：y=

m

x

，
代入A（1，-3）得：

m

1

=-3，
解得：m=-3，
故反比例函數(shù)的解析式為：y=-

3

x

；

（2）由圖可知當(dāng)0＜x＜1時(shí)，反比例函數(shù)小于二次函數(shù)；

（3）∵要使反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是y隨著x的增大而增小，
∴k＞0，
∵二次函數(shù)y=k（x²+x-1）=k（x+

1

2

）²-

5

4

k的對(duì)稱(chēng)軸為：直線x=-

1

2

，
∴要使二次函數(shù)y=k（x²+x-1）滿足上述條件，在k＞0的情況下，x必須在對(duì)稱(chēng)軸的左邊，
即x≤-

1

2

時(shí)，才能使得y隨著x的增大而增小，
綜上所述，k＜0且x≤-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)與不等組組的關(guān)系，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，以及反比例函數(shù)與二次函數(shù)的增減性，難度不大，（2）作出圖形更形象直觀．