Question

（2013•蘭州一模）如圖，拋物線m：y=-

1

4

x2+bx+c與x軸的交點(diǎn)為A，B，與y軸的交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為M，已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-2，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為4，將拋物線m繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°，得到新的拋物線n，它的頂點(diǎn)為D．
（1）求點(diǎn)M及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求拋物線n的函數(shù)表達(dá)式；
（3）設(shè)拋物線n與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E，點(diǎn)P是線段ED上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P不與E，D重合），過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為F，連接EF，如果P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），△PEF的面積為S，求S與x軸的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量x的取值范圍，試求出其最大值，若S沒(méi)有最大值，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）先將A（-2，0），C（0，4）代入y=-

1

4

x2+bx+c，運(yùn)用待定系數(shù)法求出拋物線m的解析式為y=-

1

4

x²+

3

2

x+4，再運(yùn)用配方法求出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，解方程-

1

4

x²+

3

2

x+4=0，即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）由點(diǎn)D、M關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱，求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到拋物線n的解析式；注意由于開口方向相反，兩個(gè)拋物線的a值也相反；
（3）先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線DE的解析式，再根據(jù)三角形的面積公式求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍即可確定S沒(méi)有最大值．

解答：解：（1）將A（-2，0），C（0，4）代入y=-

1

4

x2+bx+c，
得

-1-2b+c=0 c=4

，
解得

b= 3 2 c=4

，
∴拋物線m的解析式為y=-

1

4

x²+

3

2

x+4，
∵y=-

1

4

x²+

3

2

x+4=-

1

4

（x²-6x）+4=-

1

4

（x-3）²+

25

4

，
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，

25

4

），
解方程-

1

4

x²+

3

2

x+4=0，得x₁=-2，x₂=8，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，0）．
故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，

25

4

），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，0）；

（2）∵拋物線n是由拋物線m：y=-

1

4

x²+

3

2

x+4繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°得到的，
∴M與D關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱，
∴D的坐標(biāo)為（13，-

25

4

），
∴拋物線n的解析式為：y=

1

4

（x-13）²-

25

4

，即y=

1

4

x²-

13

2

x+36；

（3）∵點(diǎn)E與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B中心對(duì)稱，A（-2，0），B（8，0），
∴E的坐標(biāo)為（18，0）．
設(shè)直線ED的解析式為y=px+q，
則

18p+q=0 13p+q=- 25 4

，解得

p= 5 4 q=- 45 2

，
∴直線ED的解析式為y=

5

4

x-

45

2

．
又點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），
∴S=

1

2

x•（-y）=-

1

2

x•（

5

4

x-

45

2

）=-

5

8

x²+

45

4

x=-

5

8

（x-9）²+

405

8

，
∵點(diǎn)P是線段ED上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P不與E，D重合），
∴13＜x＜18，
∴S=-

5

8

（x-9）²+

405

8

（13＜x＜18），
∵該拋物線開口向下，對(duì)稱軸為x=9，函數(shù)圖象位于對(duì)稱軸右側(cè)，y隨著x的增大而減小，
∴S在13＜x＜18范圍內(nèi)沒(méi)有最大值．
故S與x的函數(shù)關(guān)系式為S=-

5

8

（x-9）²+

405

8

，自變量取值范圍是13＜x＜18，S沒(méi)有最大值．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、圖形變換、極值、三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)，有一定的難度．第（3）問(wèn)中，考查二次函數(shù)在指定區(qū)間上的極值，這是本題的一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，需要引起注意．