Question

已知：線段OA、OB（OA＜OB）的長是一元二次方程x²-7x+12=0的兩個根．
（1）求直線AB的解析式；
（2）在x軸上存在一點C，使△ABC的面積為9，求點C的坐標；
（3）在y軸上是否存在一點P，使△ABP為等腰三角形？若存在直接寫出點P的坐標；若不存在請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵x²-7x+12=0
（x-4）（x-3）=0，
解得：x₁=4，x₂=3，
線段OA、OB（OA＜OB）的長是一元二次方程x²-7x+12=0的兩個根，
∴OA=3，OB=4，
∴B點坐標為：（4，0），A點坐標為：（0，3），
設直線AB的解析式為；y=kx+b，則，
解得：，
∴直線AB的解析式為：y=-x+3；

（2）如圖1所示：∵△ABC的面積為9，AO=3，
∴×BC×AO=9，BC′×AO=9，
解得：BC=6，BC′=6，
∵BO=4，
∴CO=2，OC′=4+6=10，
∴C點坐標為：（-2，0），C′點坐標為：（10，0）；

（3）如圖2所示：
∵OA=3，OB=4，
∴AB==5，
當AB=AP時，此時OP=3+5=8，∴P點坐標為；（0，8）；
當AB=BP₁時，此時OP₁=AO=3，∴P₁點坐標為；（0，-3）；
當AB=AP₂時，此時OP₂=5-3=2，∴P₂點坐標為；（0，-2）；
當AP₃=BP₃時，設OP₃=x，
此時AP₃=3+x，BP₃=，
∴3+x=，
解得：x=，
∴P₃點坐標為；（0，-）
綜上所述：符合條件的點的坐標為：（0，8），（0，-3），（0，-2），（0，-）．
分析：（1）首先求出一元二次方程的解，進而得出OA，BO的長，即可得出A，B點坐標，再利用待定系數法求一次函數解析式即可；
（2）利用△ABC的面積為9，AO=3，則×BC×AO=9，BC′×AO=9，進而求出C點坐標；
（3）分別根據當AB=AP時，當AB=BP₁時，當AB=AP₂時，當AP₃=BP₃時，求出符合條件的點的坐標即可．
點評：此題主要考查了等腰三角形的性質以及待定系數法求一次函數解析式和三角形面積求法等知識，利用數形結合以及分類討論得出是解題關鍵，注意不要漏解．