Question

已知二次函數(shù)y=x²-2mx+1．記當x=c時，函數(shù)值為y_c，那么，是否存在實數(shù)m，使得對于滿足0≤x≤1的任意實數(shù)a，b，總有y_a+y_b≥1．

Answer 1

設y在0≤x≤1的最小值為M，原問題等價于2M≥1，M≥

1

2

，
二次函數(shù)y=x²-2mx+1的圖象是一條開口向上的拋的線，
①當對稱軸x=m≤0時，由圖象可知，x=0時，y_最小=1，這時1≥

1

2

成立；
②當對稱軸x=m，0＜m＜1時，由圖象可知x=m時，y_最小且y_最小=1-m²，有1-m²≥

1

2

，m²≤

1

2

，故有0＜m≤

2

2

；
③當對稱軸x=m，m≥1時，由圖象可知，x=1時，y_最小且y_最小=2-2m，這時有2-2m≥

1

2

，m≤

3

4

與m≥1矛盾．
綜上可知，滿足條件的m存在，且m的取值范圍是m≤

2

2

．