Question

【題目】如圖，已知直線的函數(shù)表達(dá)式為，它與軸、軸的交點(diǎn)分別為A、B兩點(diǎn).

（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

（2）設(shè)F是軸上一動(dòng)點(diǎn)，⊙P經(jīng)過點(diǎn)B且與軸相切于點(diǎn)F，設(shè)⊙P的圓心坐標(biāo)為P(x,y)，求y與之間的函數(shù)關(guān)系；

（3）是否存在這樣的⊙P，既與軸相切，又與直線相切于點(diǎn)B？若存在，求出圓心P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）A（﹣4，0），B（0，3）； （2）y=x2+； （3）存在．點(diǎn)的坐標(biāo)為（1， ）或（﹣9，15）.

【解析】試題分析:(1)根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征易得以A點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣4,0), B點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),

(2)過點(diǎn)P作PD⊥y軸于D,則PD=,BD=,根據(jù)切線的性質(zhì)得PF=y,則PB=y,

在Rt△BDP中,根據(jù)勾股定理得到y2=x2+(3﹣y)2 ,然后整理可得到:y=x2+,

(3)因?yàn)椤?/span>P與軸相切于點(diǎn)F,且與直線相切于點(diǎn)B,根據(jù)切線長定理得到:AB=AF,而AB=5,所以AF=再把分別代入y=x2+計(jì)算出對應(yīng)的函數(shù)值,即可確定P點(diǎn)坐標(biāo).

試題解析:（1）A點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣4,0),B點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),

（2）過點(diǎn)P作PD⊥y軸于D,如圖1,

則PD=|x|,BD=|3﹣y|,

∵⊙P經(jīng)過點(diǎn)B且與x軸相切于點(diǎn)F,

∴PB=PF=y,

在Rt△BDP中,

∴PB2=PD2+BD2,

∴y2=x2+(3﹣y)2,

∴y=x2+,

（3）存在.

如圖2,∵⊙P與x軸相切于點(diǎn)F,且與直線l相切于點(diǎn)B,

∴AB=AF,

∵AB2=OA2+OB2=52,

∴AF=5,

∵AF=|x+4|,

∴|x+4|=5,

∴x=1或x=﹣9,

當(dāng)x=1時(shí),y=,

當(dāng)x=﹣9時(shí),y==15,

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為(1, )或(﹣9,15).