【題目】已知拋物線C:y=(-a2+a)x2+x+1(a≠0)
(1)無(wú)論a為何值,拋物線C總是經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn),該定點(diǎn)的坐標(biāo)為_____.
(2)無(wú)論a為何值,該拋物線的頂點(diǎn)總在一條固定的直線上運(yùn)動(dòng),求出該直線的解析式.
(3)當(dāng)0<y≤2時(shí),y>0恒成立,求a的取值范圍.
【答案】(1)(0,1);(2);(3)0<a<1,
或
.
【解析】
(1)函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)為1,所以過(guò)定點(diǎn)(0,1);
(2)求出頂點(diǎn)坐標(biāo)公式,令,代入即可;
(3))①當(dāng)-a2+a>0時(shí),即0<a<1,當(dāng)0<a<1,0<x≤2時(shí),y>0恒成立,②當(dāng)-a2+a<0時(shí),即a>1或a<0,當(dāng)0<x≤2時(shí),y>0恒成立則x=2時(shí),y>0;
(1)無(wú)論a為何值,拋物線C總是經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn),(0,1);
(2)y=(-a2+a)x2+x+1的頂點(diǎn)為(,
),
設(shè)x=,y=
,
則,
∴y==
=
,
(3)①當(dāng)-a2+a>0時(shí),即0<a<1,
∴拋物線開(kāi)口向上,對(duì)稱軸x=在y軸左側(cè),
∴當(dāng)0<x≤2時(shí),y隨x的增大而增大,
∴當(dāng)x=2時(shí),y>0
∴當(dāng)0<a<1,0<x≤2時(shí),y>0恒成立,
②當(dāng)-a2+a<0時(shí),即a>1或a<0,
∴拋物線開(kāi)口向下
∵拋物線與y軸交于點(diǎn)(0,1),
當(dāng)0<x≤2時(shí),y>0恒成立
∴當(dāng)x=2時(shí),y>0,
即4(-a2+a)+3>0,
解得或
,
綜上,0<a<1,或
;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD中,AB=10,連接BD,點(diǎn)P是射線BC上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B重合),AP與對(duì)角線BD交于點(diǎn)E,連接EC.
(1)求證:AE=CE;
(2)若sin∠ABD=,當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí),若BP=4,求△PEC的面積;
(3)若∠ABC=45°,當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出△PEC是等腰三角形時(shí)BP的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義:對(duì)于線段和點(diǎn)
,當(dāng)
,且
時(shí),稱點(diǎn)
為線段
的“等距點(diǎn)”.特別地,當(dāng)
,且
時(shí),稱點(diǎn)
為線段
的“強(qiáng)等距點(diǎn)”.在平面直角坐標(biāo)系
中,點(diǎn)
的坐標(biāo)為
.
(1)有4個(gè)點(diǎn):,
,
,
.線段
的“等距點(diǎn)”是 ;其中線段
的“強(qiáng)等距點(diǎn)”是 .
(2)設(shè)第四象限有一點(diǎn),點(diǎn)
是線段
的“強(qiáng)等距點(diǎn)”.
①當(dāng)時(shí),求點(diǎn)
的坐標(biāo);
②當(dāng)點(diǎn)又為線段
的“等距點(diǎn)”時(shí),求
的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,在中,
,點(diǎn)
在
邊上,點(diǎn)
在
邊上,
,過(guò)點(diǎn)
作
交
的延長(zhǎng)線于點(diǎn)
.
(1)如圖1,當(dāng)時(shí):①
的度數(shù)為__________;②求證;
;
(2)如圖2,當(dāng)時(shí),求
的值(用含
的式子表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義:如圖1,對(duì)于直線同側(cè)的
、
兩點(diǎn),若在
上的點(diǎn)
滿足
,則稱
為
、
兩點(diǎn)在
上的反射點(diǎn),
與
的和稱為
、
兩點(diǎn)的反射距離.
(1)如圖2,在邊長(zhǎng)為2的正方形中,
為
的中點(diǎn),
為
、
兩點(diǎn)在直線
上的反射點(diǎn),求
、
兩點(diǎn)的反射距離;
(2)如圖3,內(nèi)接于
,直徑
為4,
,點(diǎn)
為劣弧
上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)
為
、
兩點(diǎn)在
上的反射點(diǎn),當(dāng)
、
兩點(diǎn)的反射距離最大時(shí),求劣弧
的長(zhǎng);
(3)如圖4,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與
軸正半軸交于點(diǎn)
,頂點(diǎn)為
,若點(diǎn)
為點(diǎn)
、
在
上的反射點(diǎn),同時(shí)點(diǎn)
為點(diǎn)
、
在
上的反射點(diǎn).
①請(qǐng)判斷線段和
的位置關(guān)系,并給出證明;
②求、
兩點(diǎn)的反射距離與
、
兩點(diǎn)的反射距離的比值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B分別在x、y軸上,頂點(diǎn)C、D位于第二象限,且OA=3,OB=2,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)G,若雙曲線經(jīng)過(guò)C、G,則k=__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,點(diǎn)P是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn),連接DP,
(1)若將△DAP沿DP折疊,點(diǎn)A落在矩形的對(duì)角線上點(diǎn)A處,試求AP的長(zhǎng);
(2)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一時(shí)刻,過(guò)點(diǎn)P作直線PE交BC于點(diǎn)E,將△DAP與△PBE分別沿DP與PE折疊,點(diǎn)A與點(diǎn)B分別落在點(diǎn)A,B處,若P,A,B三點(diǎn)恰好在同一直線上,且AB=2,試求此時(shí)AP的長(zhǎng).
(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AB的中點(diǎn)處時(shí),過(guò)點(diǎn)P作直線PG交BC于點(diǎn)G,將△DAP與△PBG分別沿DP與PG折疊,點(diǎn)A與點(diǎn)B重合于點(diǎn)F處,請(qǐng)直接寫(xiě)出F到BC的距離.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為緩解交通壓力,市郊某地正在修建地鐵站,擬同步修建地下停車庫(kù).如圖是停車庫(kù)坡道入口的設(shè)計(jì)圖,其中MN是水平線,MN∥AD,AD⊥DE,CF⊥AB,垂足分別為D,F(xiàn),坡道AB的坡度=1:3,AD=9米,點(diǎn)C在DE上,CD=0.5米,CD是限高標(biāo)志牌的高度(標(biāo)志牌上寫(xiě)有:限高 米).如果進(jìn)入該車庫(kù)車輛的高度不能超過(guò)線段CF的長(zhǎng),則該停車庫(kù)限高多少米?(結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):≈1.41,
≈1.73,
≈3.16)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“綠水青山就是金山銀山”,為保護(hù)生態(tài)環(huán)境,A,B兩村準(zhǔn)備各自清理所屬區(qū)域養(yǎng)魚(yú)網(wǎng)箱和捕魚(yú)網(wǎng)箱,每村參加清理人數(shù)及總開(kāi)支如下表:
村莊 | 清理養(yǎng)魚(yú)網(wǎng)箱人數(shù)/人 | 清理捕魚(yú)網(wǎng)箱人數(shù)/人 | 總支出/元 |
A | 15 | 9 | 57000 |
B | 10 | 16 | 68000 |
(1)若兩村清理同類漁具的人均支出費(fèi)用一樣,求清理養(yǎng)魚(yú)網(wǎng)箱和捕魚(yú)網(wǎng)箱的人均支出費(fèi)用各是多少元;
(2)在人均支出費(fèi)用不變的情況下,為節(jié)約開(kāi)支,兩村準(zhǔn)備抽調(diào)40人共同清理養(yǎng)魚(yú)網(wǎng)箱和捕魚(yú)網(wǎng)箱,要使總支出不超過(guò)102000元,且清理養(yǎng)魚(yú)網(wǎng)箱人數(shù)小于清理捕魚(yú)網(wǎng)箱人數(shù),則有哪幾種分配清理人員方案?
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