Question

【題目】已知P（a，y1），Q（1，y2）是拋物線y＝kx2+（2k+1）x+2（k是不等于0的常數(shù)）上的兩點(diǎn)．

（1）求證：無(wú)論k取任何實(shí)數(shù)時(shí)，關(guān)于x的方程kx2+（2k+1）x+2＝0總有實(shí)數(shù)根；

（2）當(dāng)k＝1時(shí)，

①求拋物線y＝kx2+（2k+1）x+2圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，并畫(huà)出此條拋物線的草圖；

②若y1＞y2，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象確定實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①(﹣2，0)、(﹣1，0)，作圖見(jiàn)解析；②a＜﹣4或a＞1

【解析】

（1）計(jì)算的值，根據(jù)≥0可得結(jié)論；
（2）①先將k=1代入得：y=x2+3x+2，令y=0可以計(jì)算拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，并畫(huà)出拋物線；
②根據(jù)圖象找到Q關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A的坐標(biāo)，可得a的取值范圍．

解：（1）kx2+（2k+1）x+2＝0，

＝（2k+1）2﹣4k×2＝4k2+4k+1﹣8k＝4k2﹣4k+1＝（2k﹣1）2≥0，

∴無(wú)論k取任何實(shí)數(shù)時(shí)，關(guān)于x的方程kx2+（2k+1）x+2＝0總有實(shí)數(shù)根；

（2）①當(dāng)k＝1時(shí)，y＝kx2+（2k+1）x+2＝x2+3x+2，

當(dāng)y＝0時(shí)，x2+3x+2＝0，

（x+1）（x+2）＝0，

x1＝﹣1，x2＝﹣2，

∴拋物線y＝kx2+（2k+1）x+2圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（﹣2，0）、（﹣1，0），

列表如下：

x	-4	-3	-2	-	-1	0	1
y	6	2	0	﹣	0	2	6

描點(diǎn)、連線可得拋物線的草圖如圖所示：

②由y＝x2+3x+2＝（x+）2﹣可知，

∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是：x＝﹣．

由對(duì)稱(chēng)性得：點(diǎn)Q關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，y2），

∵P（a，y1），Q（1，y2）

∴若y1＞y2，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＜﹣4或a＞1．