Question

【題目】如圖①，已知線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AC、BD，我們把形如圖①的圖形稱之為“8字形”．

（1）如圖①，若∠A=∠D,判斷∠C與∠B的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）如圖②，∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N，試解答下列問題：

①仔細(xì)觀察，在圖②中有 個(gè)“8字形”；

②∠B=80°，∠C=100°，求∠P的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）∠C=∠B（2）①6②90

【解析】

（1）利用三角形的內(nèi)角和定理表示出∠AOD與∠BOC，再根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠AOD＝∠BOC，然后整理即可得解；

（2）①根據(jù)“8字形”的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，根據(jù)交點(diǎn)寫出“8字形”的三角形，然后確定即可；

②根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ODB∠OAC，再根據(jù)角平分線的定義求出∠CAM＋∠C∠PDM，然后利用“8字形”的關(guān)系式列式整理即可得解；

解：（1）在△AOC中，∠AOC＝180°∠A∠C，

在△BOD中，∠BOD＝180°∠B∠D，

∵∠AOC＝∠BOD（對(duì)頂角相等），

∴180°∠A∠C＝180°∠B∠D，

∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C；

∵∠A=∠D,

∴∠C=∠B.

故答案為：∠C=∠B.

（2）①交點(diǎn)有點(diǎn)M、O、N，

以M為交點(diǎn)有1個(gè)，為△AMC與△DMP，

以O(shè)為交點(diǎn)有4個(gè)，為△AOC與△DOB，△AOM與△DON，△AOM與△DOB，△DON與△AOC，

以N為交點(diǎn)有1個(gè)，為△ANP與△DNB，

所以，“8字形”圖形共有6個(gè)；

∵∠C＝100°，∠B＝80°，

∴∠OAC＋100°＝∠ODB＋80°，

∴∠ODB∠OAC＝20°，

∵AP、DP分別是∠CAB和∠BDC的角平分線，

∴∠CAM＝∠OAC，∠PDM＝∠ODB，

又∵∠CAM＋∠C＝∠PDM＋∠P，

∴∠P＝∠CAM＋∠C∠PDM＝（∠OAC∠ODB）＋∠C＝×（20°）＋100°＝90°；