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        1. 如圖,在直角坐標系xOy中,Rt△OAB和Rt△OCD的直角頂點A,C始終在x軸的正半軸上,B,D在第一象限內(nèi),點B在直線OD上方,OC=CD,OD=2,M為OD的中點,AB與OD相交于E,當點B位置變化時,Rt△OAB的面積恒為
          1
          2

          試解決下列問題:
          (1)點D坐標為( 。
          (2)設點B橫坐標為t,請把BD長表示成關于t的函數(shù)關系式,并化簡;
          (3)等式BO=BD能否成立?為什么?
          (4)設CM與AB相交于F,當△BDE為直角三角形時,判斷四邊形BDCF的形狀,并證明你的結論.
          (1)D(
          2
          ,
          2
          );(1分)

          (2)由Rt△OAB的面積為
          1
          2
          ,得B(t,
          1
          t
          ),
          ∵BD2=AC2+(AB-CD)2,
          ∴BD2=(
          2
          -t)2+(
          1
          t
          -
          2
          2=t2+
          1
          t2
          -2
          2
          (t+
          1
          t
          )+4①
          =(t+
          1
          t
          )2-2
          2
          (t+
          1
          t
          )+2=(t+
          1
          t
          -
          2
          )2

          ∴BD=|t+
          1
          t
          -
          2
          |=t+
          1
          t
          -
          2
          ②;

          (3)解法一:若OB=BD,則OB2=BD2
          在Rt△OAB中,OB2=OA2+AB2=t2+
          1
          t2

          由①得t2+
          1
          t2
          =t2+
          1
          t2
          -2
          2
          (t+
          1
          t
          )+4

          解得:t+
          1
          t
          =
          2
          ,∴t2-
          2
          t+1=0,
          ∵△=(
          2
          )2
          -4=-2<0,∴此方程無解.
          ∴OB≠BD.

          解法二:若OB=BD,則B點在OD的中垂線CM上.
          C(
          2
          ,0),在等腰Rt△OCM中,可求得M(
          2
          2
          ,
          2
          2
          )
          ,
          ∴直線CM的函數(shù)關系式為y=-x+
          2
          ,③
          由Rt△OAB的面積為
          1
          2
          ,得B點坐標滿足函數(shù)關系式y(tǒng)=
          1
          x
          .④
          聯(lián)立③,④得:x2-
          2
          x+1=0,
          ∵△=(
          2
          )2
          -4=-2<0,∴此方程無解,
          ∴OB≠BD.

          解法三:若OB=BD,則B點在OD的中垂線CM上,如圖1
          過點B作BG⊥y軸于G,CM交y軸于H,
          ∵S△OBG=S△OAB=
          1
          2
          ,
          而S△OMH=S△MOC=
          1
          2
          S△DOC=
          1
          2
          ×
          2
          ×
          2
          ×
          1
          2
          =
          1
          2
          ,(5分)
          顯然與S△HMO與S△OBG矛盾.
          ∴OB≠BD.

          (4)如果△BDE為直角三角形,因為∠BED=45°,
          ①當∠EBD=90°時,此時F,E,M三點重合,如圖2
          ∵BF⊥x軸,DC⊥x軸,∴BFDC.
          ∴此時四邊形BDCF為直角梯形.

          ②當∠EDB=90°時,如圖3
          ∵CF⊥OD,
          ∴BDCF.
          又AB⊥x軸,DC⊥x軸,
          ∴BFDC.
          ∴此時四邊形BDCF為平行四邊形.
          下證平行四邊形BDCF為菱形:

          解法一:在△BDO中,OB2=OD2+BD2,
          ∴t2+
          1
          t2
          =4+t2+
          1
          t2
          -2
          2
          (t+
          1
          t
          )+4

          ∴t+
          1
          t
          =2
          2
          ,
          [方法①]t2-2
          2
          t+1=0,∵BD在OD上方
          解得:t=
          2
          -1,
          1
          t
          =
          2
          +1或t=
          2
          +1,
          1
          t
          =
          2
          -1(舍去).
          B(
          2
          -1,
          2
          +1)
          ,
          [方法②]由②得:BD=t+
          1
          t
          -
          2
          =2
          2
          -
          2
          =
          2
          ,
          此時BD=CD=
          2

          ∴此時四邊形BDCF為菱形(9分)

          解法二:在等腰Rt△OAE與等腰Rt△EDB中
          ∵OA=AE=t,OE=
          2
          t,則ED=BD=2-
          2
          t,
          ∴AB=AE+BE=t+
          2
          (2-
          2
          t)=2
          2
          -t,
          ∴2
          2
          -t=
          1
          t
          ,即t+
          1
          t
          =2
          2
          以下同解法一,
          此時BD=CD=
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          A.①③B.②③C.③④D.①②③

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          AC=8,則OE長為( 。
          A.2B.2.5C.2.4D.3

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          A.1B.2C.
          2
          D.
          3

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