Question

【題目】如圖，是的直徑，是圓上一點(diǎn)，弦于點(diǎn)，且．過點(diǎn)作的切線，過點(diǎn)作的平行線，兩直線交于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

（1）求證：與相切；

（2）連接，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接，，易證為等邊三角形，可得，由等腰三角形的性質(zhì)及角的和差關(guān)系可得∠1=30°，由于可得∠DCG=∠CDA=∠60°，即可求出∠OCG=90°，可得與相切；（2）作于點(diǎn)．設(shè)，則，．根據(jù)兩組對(duì)邊互相平行可證明四邊形為平行四邊形，由可證四邊形為菱形，由（1）得，從而可求出、的值，從而可知的長(zhǎng)度，利用銳角三角函數(shù)的定義即可求出的值．

（1）連接，．

∵是的直徑，弦于點(diǎn)，

∴，．

∵，

∴．

∴為等邊三角形．

∴，∠DAE=∠EAC=30°，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=30°，

∴∠1=∠DCA-∠OCA=30°，

∵，

∴∠DCG=∠CDA=∠60°，

∴∠OCG=∠DCG+∠1=60°+30°=90°，

∴．

∴與相切．

（2）連接EF，作于點(diǎn)．

設(shè)，則，．

∵與相切，

∴．

又∵，

∴．

又∵，

∴四邊形為平行四邊形．

∵，

∴四邊形為菱形．

∴，．

由（1）得，

∴，．

∴．

∵在中，，

∴．