Question

某公司開發(fā)了一種新型的家電產(chǎn)品，又適逢“家電下鄉(xiāng)”的優(yōu)惠政策．現(xiàn)投資50萬元用于該產(chǎn)品的廣告促銷，已知該產(chǎn)品的本地銷售量y₁（萬臺）與本地的廣告費用x（萬元）之間的函數(shù)關(guān)系滿足y₁=3x（0≤x≤50）； 該產(chǎn)品的外地銷售量y₂（萬臺）與外地廣告費用t（萬元）之間的函數(shù)關(guān)系可用如圖所示的拋物線和線段AB來表示．其中點A為拋物線的頂點．
（1）結(jié)合圖象，寫出y₂（萬臺）與外地廣告費用t（萬元）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求該產(chǎn)品的銷售總量y（萬臺）與本地廣告費用x（萬元）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）如何安排廣告費用才能使銷售總量最大？

Answer 1

分析：（1）當(dāng)0≤t≤30時，y₂為二次函數(shù)，頂點坐標為（30，140），設(shè)拋物線頂點式，把（0，50）代入求函數(shù)式，當(dāng)30＜t≤50時，y₂=140；
（2）由x+t=50，得t=50-x，此時，x的取值范圍是0≤x＜20，20≤x≤50，由y=y₁+y₂，分別求該產(chǎn)品的銷售總量y（萬臺）與本地廣告費用x（萬元）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）由（2）中的兩個函數(shù)關(guān)系式，再各范圍內(nèi)求y的最大值，比較即可．

解答：解：（1）當(dāng)0≤t≤30時，拋物線頂點坐標為（30，140），設(shè)y₂=a（t-30）²+140，
將（0，50）代入，得a（0-30）²+140=50，解得a=-

1

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，y₂=-

1

10

（t-30）²+140，
當(dāng)30＜t≤50時，y₂=140；

（2）由x+t=50，根據(jù)t的取值范圍得，
當(dāng)0≤x＜20時，y=y₁+y₂=3x+140，
當(dāng)20≤x≤50時，y=y₁+y₂=3x-

1

10

（50-x-30）²+140=-0.1（x-35）²+222.5；

（3）由（2）的函數(shù)關(guān)系式可知，當(dāng)x=35時，y_最大=222.5萬元，
即：安排本地廣告費35萬元，外地廣告費15萬元，能使銷售總量最大，最大為222.5萬元．

點評：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用．關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)圖象，分段求出y₂的函數(shù)關(guān)系式及t的取值范圍，根據(jù)兩個變量x、t的和為50，將函數(shù)式中的變量進行轉(zhuǎn)化，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值．