Question

如圖，在平面直角標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，6），B（8，0），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始在線段AO上以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)O移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始在線段BA上以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q移動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）求直線AB的解析式；
（2）求t為何值時(shí)，△APQ與△AOB相似？并求出此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ的面積為

24

5

個(gè)平方單位？

Answer 1

分析：（1）用待定系數(shù)法可直接求出直線AB的解析式；
（2）用含t的代數(shù)式表示AP、AQ，根據(jù)三角形相似的對(duì)應(yīng)關(guān)系，利用相似比求出時(shí)間t；再利用相似比可求點(diǎn)P與點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）利用相似比求出△APQ的AP邊上的高，根據(jù)面積公式列方程求t．

解答：解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
則

b=6 8k+b=0

解得

k=- 3 4 b=6

∴y=-

3

4

x+6；

（2）由題意可知AO=6，BO=8，則AB=10，且AP=t，BQ=2t，△APQ與△AOB相似有兩種情況：
①當(dāng)∠APQ=∠AOB時(shí)，如圖（1），有

AP

AO

=

AQ

AB

，即

t

6

=

10-2t

10

，解得t=

30

11

，
則OP=6-

30

11

=

36

11

，則P的坐標(biāo)是：（0，

36

11

），
∵∠APQ=∠AOB，
∴PQ∥OB
∴

AP

OA

=

PQ

OB

，
則

30 11

6

=

PQ

8

，解得：PQ=

40

11

，
則Q的坐標(biāo)是：（

40

11

，

36

11

）；
②當(dāng)∠AQP=∠AOB時(shí)，如圖（2），有

AQ

AO

=

AP

AB

，即

t

10

=

10-2t

6

，解得t=

50

13

，
則OP=OA-AP=6-

50

13

=

28

13

，
則P的坐標(biāo)是：（0，

28

13

），
作QM⊥y軸，于M點(diǎn)．
△OAB與△QAP的相似比是：

t

10

=

5

13

，
△OAB的面積是：

1

2

OA•OB=

1

2

×6×8=24，
則△QAP的面積是：24×（

5

13

）²=

600

169

，
∵S_△QAP=

1

2

AP•MQ，即

600

169

=

1

2

×

50

13

•MQ，
解得：MQ=

60

13

，
∵M(jìn)Q∥OB
∴

AM

OA

=

MQ

OB

，
則

AM

6

=

60 13

8

，解得：AM=

54

13

，
則OM=

24

13

故Q的坐標(biāo)是：（

24

13

，

60

13

）；

（3）過Q作QH⊥OA于H，如圖，
∴△AHQ∽△AOB，
∴

QH

OB

=

AQ

AB

，
∴

HQ

8

=

10-2t

10

，
∴HQ=

4

5

（10-2t），
∴

1

2

•t•

4

5

（10-2t）=

24

5

，
解得t=2或t=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求直線解析式，直角坐標(biāo)系中的相似性質(zhì)的運(yùn)用，面積等問題．