Question

（2012•吳中區(qū)三模）己知點(diǎn)P（2，3）是反比例函數(shù)y=

k

x

圖象上的點(diǎn)．
（1）求過點(diǎn)P且與反比例函數(shù)y=

k

x

圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的解析式；
（2）Q是反比例函數(shù)y=

k

x

圖象在第三象限這一分支上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作直線使其與反比例函數(shù)y=

k

x

圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與x軸、y軸分別交于C、D兩點(diǎn)，設(shè)（1）中求得的一直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)．
①試判斷AD、BC的位置關(guān)系；
②探索當(dāng)四邊形ABCD面積最小時(shí)，四邊形ABCD的形狀．

Answer 1

分析：（1）把P的坐標(biāo)代入即可求出反比例函數(shù)的解析式，得出直線x=2和直線y=3符合題意，設(shè)第三條直線解析式為y=ax+b，把P（2，3）代入得出y=kx+3-2k，聯(lián)立直線與反比例解析式得出方程kx²+（3-2k）x-6=0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出k，即可求出直線的解析式；
（2））①由（1）求出的直線y=-

3

2

x+6，求出A和B的坐標(biāo)，得出OA=4，OB=6，設(shè)直線CD的解析式為y=mx+n，得出方程組

y=mx+n y= 6 x

，消去y整理后求出-

n2

m

=24，求出OC•OD=OA•OB，得出

OA

OC

=

OD

OB

，即可得出平行；②設(shè)OC=t，則OD=

24

r

，根據(jù)S_{四邊形ABCD}=S_△BCD+S_△BDA得出S=3t+

48

t

+24，化成頂點(diǎn)式即可求出t，根據(jù)菱形的判定推出即可．

解答：（1）解：將P的坐標(biāo)代入反比例解析式得：3=

k

2

，即k=6，
則反比例函數(shù)解析式為y=

6

x

，
顯然直線x=2與直線y=3與反比例函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，滿足題意；
設(shè)第三條直線解析式為y=ax+b，
∵把P（2，3）代入得：3=2k+b，
即b=3-2k，
∴y=kx+3-2k，
聯(lián)立直線與反比例解析式得：

y=kx+3-2k y= 6 x

，
消去y整理得：kx²+（3-2k）x-6=0，
由題意得到方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，得到△=（3-2k）²+24k=（2k+3）²=0，
解得：k=-

3

2

，
故滿足題意的第三條直線為y=-

3

2

x+6；

（2）①由（1）求出的直線y=-

3

2

x+6，令x=0，得到y(tǒng)=6；令y=0，得到x=4，
則A（4，0），B（0，6），即OA=4，OB=6，
設(shè)直線CD的解析式為y=mx+n，
則

y=mx+n y= 6 x

只有一個(gè)解，
消去y整理得：mx²+nx-6=0，
△=n²+24m=0，
-

n2

m

=24，
OC•OD=

n

m

•（-n）=24=OA•OB，即

OA

OC

=

OD

OB

，
AD∥BC；
②設(shè)OC=t，則OD=

24

t

，
S_{四邊形ABCD}=S_△BCD+S_△BDA=

1

2

×（6+

24

t

）×r+

1

2

×（6+

24

t

）×4
=3t+

48

t

+24
=3（

t

-

4

t

）²+48，
則當(dāng)

t

-

4

t

=0，即t=4時(shí)，四邊形ABCD面積最小，
此時(shí)OA=OC=4，OB=OD=6，又AC⊥BD，
故四邊形ABCD為菱形．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了三角形的面積，反比例函數(shù)的解析式，平行線的性質(zhì)和判定，菱形的判定，根的判別式，方程組等知識(shí)點(diǎn)，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算的能力，本題綜合性比較強(qiáng)，難度偏大，對(duì)學(xué)生提出較高的要求．