Question

【題目】如圖，O為矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，DE∥AC，CE∥BD.

（1）求證：四邊形OCED是菱形；

（2）若AB＝3，BC＝4，求四邊形OCED的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）6

【解析】試題分析：

(1) 觀察題目中的兩組平行線易知，四邊形OCED的兩組對(duì)邊分別平行，即四邊形OCED是平行四邊形. 在平行四邊形的基礎(chǔ)上若想證明其為菱形，則要么再證一組鄰邊相等要么再證對(duì)角線互相垂直. 繼續(xù)觀察圖形可知，利用矩形ABCD的性質(zhì)證明OC與OD相等是容易的. 因此，根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形為菱形即可證明四邊形OCED是菱形.

(2) 分析條件可知，在矩形ABCD中，AB=CD=3，線段CD恰好是菱形OCED的一條對(duì)角線，于是容易想到利用對(duì)角線乘積的一半去計(jì)算菱形的面積. 作出菱形的另一條對(duì)角線OE，利用菱形OCED的性質(zhì)和矩形ABCD的性質(zhì)可知OE∥BC，進(jìn)而得到四邊形OBCE為平行四邊形，再利用平行四邊形的性質(zhì)可求得OE的長度. 在得到兩條對(duì)角線的長度后，按菱形的面積公式即可得到四邊形OCED的面積.

試題解析：

(1) 證明：∵DE∥AC，CE∥BD，

∴四邊形OCED是平行四邊形，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴OC= ，OD= ，AC=BD，

∴OC=OD，

∴平行四邊形OCED為菱形.

(2) 四邊形OCED的面積為6. 求解過程如下.

連接OE，交CD于點(diǎn)G. (如圖)

∵四邊形OCED為菱形，

∴OE⊥CD，

∴∠OGD=90°，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴∠BCD=90°，

∴∠OGD=∠BCD，

∴OE∥BC，

∵CE∥BD，OE∥BC，

∴四邊形OBCE為平行四邊形，

∴OE=BC，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴CD=AB，

∵AB=3，BC=4，

∴CD=AB=3，OE=BC =4，

∴菱形OCED的面積為，

即四邊形OCED的面積為6.