Question

（2012•溫州模擬）△ABC中，∠A=90°，點(diǎn)D在線段BC上（端點(diǎn)B除外），∠EDB=

1

2

∠C，BE⊥DE于點(diǎn)E，DE與AB相交于點(diǎn)F．
（1）當(dāng)AB=AC時(shí)（如圖1）
①∠EBF=

22.5

°；
②小明在探究過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，線段FD與BE始終保持一種特殊的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你猜想這個(gè)關(guān)系，并利用所學(xué)知識(shí)證明猜想的正確性；
（2）探究：
當(dāng)AB=kAC時(shí)（k＞0，如圖2），用含k的式子表示線段FD與BE之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出結(jié)果．

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)題意可判斷△ABC為等腰直角三角形，據(jù)此即可推斷∠C=45°，進(jìn)而可知∠EDB=22.5°．然后求出∠EBF的度數(shù)．
②根據(jù)題意證明△BEF∽△DEB，然后利用相似三角形的性質(zhì)，得到BE與FD的數(shù)量關(guān)系．
（2）首先證明△GBN∽△FDN，利用三角形相似的性質(zhì)得到BE與FD的數(shù)量關(guān)系．

解答：解：（1）①∵AB=AC∠A=90°
∴∠ABC=∠C=45°
∵∠EDB=

1

2

∠C
∴∠EDB=22.5°
∵BE⊥DE
∴∠EBD=67.5°
∴∠EBF=67.5°-45°=22.5°，
故答案為：22.5；
②在△BEF和△DEB中
∵∠E=∠A=90°
∠EBF=∠EDB=22.5°
∴△BEF∽△DEB
如圖：作BG平分∠ABC，交DE于G點(diǎn)，
∴BG=GD△BEG是等腰直角三角形
設(shè)EF=x，BE=y，
則：BG=GD=

2

y，
FD=

2

y+y-x，
∵△BEF∽△DEB
∴

x

y

=

y

y+ 2 y

，
得：x=（

2

-1）y，
∴FD=2BE；
（2）過(guò)點(diǎn)D作DG∥AC，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，與BA交于點(diǎn)N，
∵DG∥AC，
∴∠GDB=∠C，
∵∠EDB=

1

2

∠C，
∴∠EDB=∠GDE，
∵BE⊥DE，
∴∠BED=∠DEG，
DE=DE，
∴△DEG≌△DEB，
∴BE=

1

2

GB，∠BND=∠GNB=90°，∠EBF=∠NDF，
∴△GBN∽△FDN，
∴

GB

FD

=

NB

ND

，即

BE

FD

=

BN

2DN

，
又∵DG∥AC，
∴△BND∽△BAC，
∴

BN

AB

=

DN

CA

，
即

BN

DN

=

AB

AC

=k，
∴

BE

FD

=

k

2

，
∴FD=

2

k

BE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行判定和計(jì)算．（2）結(jié)合圖形利用三角函數(shù)和相似三角形進(jìn)行計(jì)算求出線段間的關(guān)系．