Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A（﹣1，0）B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線y=ax2+2x+c的解析式:；

（2）點(diǎn)D為拋物線上對(duì)稱軸右側(cè)、x軸上方一點(diǎn)，DE⊥x軸于點(diǎn)E，DF∥AC交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)F，求DE+DF的最大值；

（3）①在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)A，P，C為頂點(diǎn)，AC為直角邊的三角形是直角三角形？若存在，請求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

②點(diǎn)Q在拋物線對(duì)稱軸上，其縱坐標(biāo)為t，請直接寫出△ACQ為銳角三角形時(shí)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）DE+DF有最大值為；（3）①存在，P的坐標(biāo)為（，）或（，）；②＜t＜．

【解析】

（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣3），根據(jù)系數(shù)的關(guān)系，即可解答

（2）先求出當(dāng)x=0時(shí)，C的坐標(biāo)，設(shè)直線AC的解析式為y=px+q，把A,C的坐標(biāo)代入即可求出AC的解析式，過D作DG垂直拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)G，設(shè)D（x，﹣x2+2x+3），得出DE+DF=﹣x2+2x+3+（x-1）=﹣x2+（2+）x+3-，即可解答

（3）①過點(diǎn)C作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P1，求出直線PC的解析式，再結(jié)合拋物線的解析式可求出P1，過點(diǎn)A作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P2，再利用A的坐標(biāo)求出P2，即可解答

②觀察函數(shù)圖象與△ACQ為銳角三角形時(shí)的情況，即可解答

解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，

∴﹣2a=2，解得a=﹣1，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；

（2）當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣x2+2x+3=3，則C（0，3），設(shè)直線AC的解析式為y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，∴直線AC的解析式為y=3x+3，如答圖1，過D作DG垂直拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)G，設(shè)D（x，﹣x2+2x+3），

∵DF∥AC，

∴∠DFG=∠ACO，易知拋物線對(duì)稱軸為x=1，

∴DG=x-1，DF=（x-1），

∴DE+DF=﹣x2+2x+3+（x-1）=﹣x2+（2+）x+3-，

∴當(dāng)x=，DE+DF有最大值為；

答圖1 答圖2

（3）①存在；如答圖2，過點(diǎn)C作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P1，

∵直線AC的解析式為y=3x+3，

∴直線PC的解析式可設(shè)為y=x+m，把C（0，3）代入得m=3，

∴直線P1C的解析式為y=x+3，解方程組，解得或，則此時(shí)P1點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；過點(diǎn)A作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P2，直線AP2的解析式可設(shè)為y=x+n，把A（﹣1，0）代入得n=，

∴直線PC的解析式為y=，解方程組，解得或，則此時(shí)P2點(diǎn)坐標(biāo)為（，），綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，）；

②＜t＜．