Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在x軸，y軸上，線(xiàn)段OA=6，OB=12，C是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線(xiàn)段OC上，OD=2CD．
（1）C點(diǎn)坐標(biāo)為

 

；
（2）求直線(xiàn)AD的解析式；
（3）直線(xiàn)OC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，求出點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D′的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)A，B分別在x軸，y軸上，線(xiàn)段OA=6，OB=12，所以A（6，0）、B（0，12），又因C是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，利用線(xiàn)段中點(diǎn)的公式即可求出C的坐標(biāo)為（3，6）；
（2）要求直線(xiàn)AD的解析式，已知A的坐標(biāo)，需求D的坐標(biāo)，因?yàn)辄c(diǎn)D在線(xiàn)段OC上，OD=2CD，所以可作CE⊥x軸于點(diǎn)E，DF⊥x軸于點(diǎn)F，則OE=

1

2

OA=3，CE=

1

2

OB=6，因?yàn)镈F∥CE，可得

DF

CE

=

OF

OE

=

OD

OC

=

2

3

，從而可求出OF=2，DF=4，
即點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，4），然后可設(shè)直線(xiàn)AD的解析式為y=kx+b．把A（6，0），D（2，4）代入得到關(guān)于k、b的方程組，解之即可；
（3）因?yàn)橹本�(xiàn)OC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，所以D也作了相同的旋轉(zhuǎn)，要求點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D′的坐標(biāo)，需作D′M⊥x軸于點(diǎn)M，DN⊥y軸于點(diǎn)N，由旋轉(zhuǎn)可知：∠DOD′=90°，OD=OD’，利用同角的余角相等可得∠D′OM=∠DON，所以可證Rt△MOD′≌Rt△DOF，所以D′M=OF=2，OD′=DF=4，又因點(diǎn)D′在第二象限，所以D′點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，2）．

解答：解：（1）（3，6）；

（2）作CE⊥x軸于點(diǎn)E，DF⊥x軸于點(diǎn)F，則OE=

1

2

OA=3，CE=

1

2

OB=6，
∵DF∥CE，

DF

CE

=

OF

OE

=

OD

OC

=

2

3

，
得OF=2，DF=4，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，4），
設(shè)直線(xiàn)AD的解析式為y=kx+b．
把A（6，0），D（2，4）代入得

6k+b=0 2k+b=4

，
解得

k=-1 b=6

，
∴直線(xiàn)AD的解析式為y=-x+6．

（3）作D′M⊥x軸于點(diǎn)M，
由旋轉(zhuǎn)可知：∠DOD’=90°，OD=OD’，
∴∠MOD′+∠DOF=90°，
∵∠ODF=90°，
∴∠ODF+∠DOF=90°，
∴∠ODF=∠MOD’，
∴△MOD′≌△DOF，（7分）
∴D′M=OF=2，OD′=DF=4，
又∵點(diǎn)D′在第二象限，
∴D′點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題需仔細(xì)分析題意，結(jié)合圖形，利用待定系數(shù)法、旋轉(zhuǎn)、全等三角形的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題．