Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，現(xiàn)在有一足夠大的直角三角板，它的直角頂點D是BC邊上一點，另兩條直角邊分別交AB、AC于點E、F.

（1）如圖1，若DE⊥AB，DF⊥AC，求證：四邊形AEDF是矩形

（2）在（1）條件下，若點D在∠BAC的角平分線上，試判斷此時四邊形AEDF形狀，并說明理由；

（3）若點D在∠BAC的角平分線上，將直角三角板繞點D旋轉(zhuǎn)一定的角度，使得直角三角板的兩條邊與兩條直角邊分別交于點E、F（如圖2），試證明.（嘗試作輔助線）

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）正方形，理由見解析 （3）見解析

【解析】

（1）由垂直的定義得到∠AED=∠AFD=90°，根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=DF，根據(jù)正方形的判定定理即可得到矩形AEDF是正方形；
（3）作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，證得四邊形AMDN是正方形，由正方形的性質(zhì)得到AM=DM=DN=AN，∠MDN=∠AMD=90°，由余角的性質(zhì)得到∠NDF=∠EDM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EM=FN，根據(jù)勾股定理得到AD=AM，由于AM=（AM+AN）=（AE+AF），等量代換即可得到結(jié)論．

（1）∵DE⊥AB，BF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
∵∠BAC=90°，
∴四邊形AEDF是矩形；
（2）四邊形AEDF是正方形，
理由：∵點D在∠BAC的 角平分線上，DE⊥AB，BF⊥AC，
∴DE=DF，
∴矩形AEDF是正方形；
（3）作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，

∴∠AMD=∠AND=∠BAC=90°，
∵點D在∠BAC的 角平分線上，
∴DM=DN，
∴四邊形AMDN是正方形，
∴AM=DM=DN=AN，∠MDN=∠AMD=90°，
∴∠MDF+∠NDF=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠MDF+∠EDM=90°，
∴∠NDF=∠EDM，
在△EMD與△FND中， ，
∴△EMD≌△FND，
∴EM=FN，
∵∠AMD=90°，
∴AM2+DM2=AD2，
∴AD=AM，
∵AM=（AM+AN）=（AE+AF），
∴AD=×（AE+AF），
∴AE+AF=AD．