Question

如圖所示，已知四邊形ABCD是正方形，E是CD的中點(diǎn)，P是BC邊上的一點(diǎn)，下列條件中，可以推出△AED與△ECP相似的有________．
①∠AED=∠PEC；②∠AEP=90°；③P是BC的中點(diǎn)；④BP：BC=3：4．

Answer 1

①②④（每填對(duì)一個(gè)給1分，多選或錯(cuò)選不給分）
分析：由四邊形ABCD為正方形，得到四條邊相等，四個(gè)內(nèi)角都為直角．由于△AED與△ECP都是直角三角形，根據(jù)如果兩個(gè)三角形有兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且它們的夾角也相等，則當(dāng)PC：DE=EC：AD時(shí)能得到△AED與△ECP相似，即可得到BP=2CP．
解答：①∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠C=∠D=90°，
當(dāng)∠AED=∠PEC時(shí)，又∠D=∠C=90°，
∴△AED∽△PEC；
故本選項(xiàng)正確；
②∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠C=∠D=90°，
當(dāng)∠AEP=90°時(shí)，∠DAE=∠CEP（同角的余角相等）．
又∠D=∠C=90°，
∴△AED∽△EPC；
故本選項(xiàng)正確；

當(dāng)P是BC的中點(diǎn)時(shí)，PC=CE，則=2，=1，
∴≠，
∴△AED與△ECP不相似．
故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
④∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°．
若BP：BC=3：4時(shí)，設(shè)BP=3k，BC=4k．則AD=CD=BC=4k，CP=BC-BP=k，
∴CE=DE=2k，
∴==2，==2，
∴=．
又∠D=∠C=90°，
∴△AED∽△ECP；
故本選項(xiàng)正確；
綜上所述，可以推出△AED與△ECP相似的有：①②④．
故答案是：①②④．
點(diǎn)評(píng)：考查相似三角形的判定定理：
（1）兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．
（2）兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似．
（3）三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似．
（4）如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似．