Question

已知△ABC中，AB=AC，D、E是BC邊上的點(diǎn)，將△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，得到△ACD′，連結(jié)D′E．
（1）如圖1，當(dāng)∠BAC=120°，∠DAE=60°時(shí)，求證：DE=D′E；
（2）如圖2，當(dāng)DE=D′E時(shí)，∠DAE與∠BAC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出，并說明理由．
（3）如圖3，在（2）的結(jié)論下，當(dāng)∠BAC=90°，BD與DE滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，△D′EC是等腰直角三角形？（直接寫出結(jié)論，不必說明理由）

Answer 1

（1）證明：∵△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△ACD′，
∴AD=AD′，∠CAD′=∠BAD，
∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，
∴∠D′AE=∠CAD′+∠CAE，
=∠BAD+∠CAE，
=∠BAC-∠DAE，
=120°-60°，
=60°，
∴∠DAE=∠D′AE，
在△ADE和△AD′E中，
，
∴△ADE≌△AD′E（SAS），
∴DE=D′E；

（2）解：∠DAE=∠BAC．
理由如下：在△ADE和△AD′E中，
，
∴△ADE≌△AD′E（SSS），
∴∠DAE=∠D′AE，
∴∠BAD+∠CAE=∠CAD′+∠CAE=∠D′AE=∠DAE，
∴∠DAE=∠BAC；

（3）解：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=∠ACD′=45°，
∴∠D′CE=45°+45°=90°，
∵△D′EC是等腰直角三角形，
∴D′E=CD′，
由（2）DE=D′E，
∵△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△ACD′，
∴BD=C′D，
∴DE=BD．
分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD=AD′，∠CAD′=∠BAD，然后求出∠D′AE=60°，從而得到∠DAE=∠D′AE，再利用“邊角邊”證明△ADE和△AD′E全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD=AD′，再利用“邊邊邊”證明△ADE和△AD′E全等，然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等求出∠DAE=∠D′AE，然后求出∠BAD+∠CAE=∠DAE，從而得解；
（3）求出∠D′CE=90°，然后根據(jù)等腰直角三角形斜邊等于直角邊的倍可得D′E=CD′，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解答即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟記旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小找出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．