Question

【題目】已知：，⊙經(jīng)過點、.以為一邊畫平行四邊形，另一邊經(jīng)過點（如圖1）.以點為圓心，為半徑畫弧，交線段于點（點不與點、點重合）.

（1）求證：；

（2）如果⊙的半徑長為（如圖2），設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；

（3）如果⊙的半徑長為，聯(lián)結(jié)，當時，求的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2），得1分，函數(shù)定義域，（3）3.

【解析】解決本題方法是根據(jù)題意添加輔助線，利用平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形性質(zhì)解題即可.

解：（1）聯(lián)結(jié)、(如圖8-1)，

易得，.

∵四邊形是平行四邊形，∴∥，.

∵，，∴.

又 ∵∥，∴四邊形是等腰梯形.∴.

又 ∵，∴.

即 .

在△AOD和△BOE中，∵，，，

∴△AOD≌△BOE. ∴.

方法2：∵，，，∴△AOD≌△BOE.……

方法3：∵，，，∴△AOD≌△BOE.……

方法4：如圖8-2，過點作，過點作，過點作.……

方法5：如圖8-3，過點作，垂足為，聯(lián)結(jié)、.……

（2）方法1：如圖9-1，

過點作，垂足為，過點作，垂足為.

聯(lián)結(jié)，，，得1分；得到，得2分；在Rt△ADG中，寫出，，得1分；利用得到，得1分，函數(shù)定義域，.

（3）如圖10-1，

過點作，交于點，交于點.證明四邊形是平行四邊形，利用，得到，利用△AMN≌△CMO或得到，進而得到是的垂直平分線，，利用，得到.

方法2.如圖10-2；方法3：如圖10-3；方法4（利用圓周角，略）.

“點睛”本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系和三角形全等的判定與性質(zhì)，也考查了分類討論的思想和勾股定理.本題時要注意一題多解的應(yīng)用.