Question

【題目】如圖，Rt△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，AD 是 BC 邊上的高，E 是 AD 上的一點。連接 EC，過點 E 作 EF⊥EC 交射線 BA 于點 F，EF、AC 交于點 G。若 DE=3，△EGC 與△AFG 面積的差是 2，則 BD=_____.

Answer 1

【答案】5

【解析】

在DC上取點M，使DM=DE，連接EM，通過證明FAEEMC，根據(jù)△EGC 與△AFG 面積的差是 2，推出△EAC 與△EMC 面積的差是 2，然后設MC=x,則AE=x，AD=x+3，利用面積差即可求出x，即可求出BD.

解：在DC上取點M，使DM=DE，連接EM

∵Rt△ABC，AB=AC，AD ⊥ BC

∴BD=CD=AD，∠EAF=135°

同理∠EMC=135°

∴AE=CM

∠AEF+∠CED=∠ECM+∠CED=90°

∴∠AEF=∠ECM

∴FAEEMC

∵S△EGC -S△AFG=2

∴S△EAC -S△FAE=2

∴S△EAC -S△EMC=2

設MC=x,則AE=x，AD=x+3

∵S△EAC= ，S△MEC=

∴-=2

解得x=2（x>0，負值舍去），

∴AD=2+3=5

∴BD=AD=5

故答案為：5.