Question

5．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O為AB邊上的一點，且tanB=$\frac{1}{2}$，點D為AC邊上的動點（不與點A，C重合），將線段OD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，交BC于點E．
（1）如圖1，若O為AB邊中點，D為AC邊中點，則$\frac{OE}{OD}$的值為$\frac{1}{2}$；
（2）若O為AB邊中點，D不是AC邊的中點，
①請根據(jù)題意將圖2補全；
②小軍通過觀察、實驗，提出猜想：點D在AC邊上運動的過程中，（1）中$\frac{OE}{OD}$的值不變．小軍把這個猜想與同學(xué)們進行交流，通過討論，形成了求$\frac{OE}{OD}$的值的幾種想法：
想法1：過點O作OF⊥AB交BC于點F，要求$\frac{OE}{OD}$的值，需證明△OEF∽△ODA．
想法2：分別取AC，BC的中點H，G，連接OH，OG，要求$\frac{OE}{OD}$的值，需證明△OGE∽△OHD．
想法3：連接OC，DE，要求$\frac{OE}{OD}$的值，需證C，D，O，E四點共圓．
…
請你參考上面的想法，幫助小軍寫出求$\frac{OE}{OD}$的值的過程?（一種方法即可）；
（3）若$\frac{BO}{BA}$=$\frac{1}{n}$（n≥2且n為正整數(shù)），則$\frac{OE}{OD}$的值為$\frac{1}{2n-2}$（用含n的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)O為AB邊中點，D為AC邊中點，得出四邊形CDOE是矩形，再根據(jù)tanB=$\frac{1}{2}$=tan∠AOD，得出$\frac{AD}{OD}$=$\frac{1}{2}$，進而得到$\frac{OE}{OD}$=$\frac{1}{2}$；
（2）①根據(jù)題意將圖2補全即可；②法1：過點O作OF⊥AB交BC于點F，要求$\frac{OE}{OD}$的值，需證明△OEF∽△ODA；法2：分別取AC，BC的中點H，G，連接OH，OG，要求$\frac{OE}{OD}$的值，需證明△OGE∽△OHD；法3：連接OC，DE，要求$\frac{OE}{OD}$的值，需證C，D，O，E四點共圓．分別根據(jù)三種方法進行解答即可；
（3）先過點O作OF⊥AB交BC于點F，要求$\frac{OE}{OD}$的值，需證明△OEF∽△ODA，得出$\frac{OE}{OD}=\frac{OF}{OA}$，再根據(jù)$\frac{BO}{BA}$=$\frac{1}{n}$（n≥2且n為正整數(shù)），得到$\frac{OF}{OA}$=$\frac{1}{2n-2}$即可．

解答 解：（1）如圖1，∵O為AB邊中點，D為AC邊中點，
∴OD∥BC，∠CDO=90°，
又∵∠ACB=90°，∠DOE=90°，
∴四邊形CDOE是矩形，
∴OE=CD=AD，
∵OD∥BC，
∴∠AOD=∠B，
∴tanB=$\frac{1}{2}$=tan∠AOD，即$\frac{AD}{OD}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OE}{OD}$=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$；

（2）①如圖所示：

②法1：如圖，過點O作OF⊥AB交BC于點F，

∵∠DOE=90°，
∴∠AOD+∠DOF=∠DOF+∠FOE=90°，
∴∠AOD=∠FOE，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=∠OFE+∠B=90°，
∴∠A=∠OFE，
∴△OEF∽△ODA，
∴$\frac{OE}{OD}=\frac{OF}{OA}$，
∵O為AB邊中點，
∴OA=OB．
在Rt△FOB中，tanB=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OF}{OB}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OF}{OA}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OE}{OD}=\frac{1}{2}$；

法2：如圖，分別取AC，BC的中點H，G，連接OH，OG，

∵O為AB邊中點，
∴OH∥BC，OH=$\frac{1}{2}BC$，OG∥AC．
∵∠ACB=90°，
∴∠OHD=∠OGE=90°，
∴∠HOG=90°，
∵∠DOE=90°，
∴∠HOD+∠DOG=∠DOG+∠GOE=90°，
∴∠HOD=∠GOE，
∴△OGE∽△OHD，
∴$\frac{OE}{OD}=\frac{OG}{OH}$，
∵tanB=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OG}{GB}=\frac{1}{2}$，
∵OH=GB，
∴$\frac{OG}{OH}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OE}{OD}=\frac{1}{2}$；

法3：如圖，連接OC，DE，

∵∠ACB=90°，∠DOE=90°，
∴DE的中點到點C，D，O，E的距離相等，
∴C，D，O，E四點共圓，
∴∠ODE=∠OCE，
∵O為AB邊中點，
∴OC=OB，
∴∠B=∠OCE，
∴∠ODE=∠B，
∵tanB=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OE}{OD}=\frac{1}{2}$；

（3）如圖所示，過點O作OF⊥AB交BC于點F，

∵∠DOE=90°，
∴∠AOD+∠DOF=∠DOF+∠FOE=90°，
∴∠AOD=∠FOE．
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=∠OFE+∠B=90°，
∴∠A=∠OFE，
∴△OEF∽△ODA，
∴$\frac{OE}{OD}=\frac{OF}{OA}$，
∵$\frac{BO}{BA}$=$\frac{1}{n}$，
∴可設(shè)OB=1，則AB=n，AO=n-1，
∵在Rt△FOB中，tanB=$\frac{1}{2}$，
∴OF=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OF}{OA}$=$\frac{\frac{1}{2}}{n-1}$=$\frac{1}{2n-2}$，
∴$\frac{OE}{OD}$=$\frac{1}{2n-2}$．
故答案為：$\frac{1}{2n-2}$．

點評 本題屬于相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對圖形進行分解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形，判定三角形相似的方法有時可單獨使用，有時需要綜合運用．