Question

如圖，E是正方形ABCD的邊AB上的動點，EF⊥DE交BC于點F．
（1）求證：△ADE∽△BEF；
（2）設(shè)正方形的邊長為4，AE=x，BF=y．請用x的代數(shù)式表示y．
（3）在條件（2）下，當(dāng)E點在AB上運動到什么位置時，△ADE∽△EDF．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠A=∠B，再根據(jù)同角的余角相等求出∠1=∠3，然后利用兩組角對應(yīng)相等，兩三角形相似證明；
（2）表示出BE，然后根據(jù)相似三角形的列式整理即可得解；
（3）由△ADE∽△EDF得

AD

AE

=

DE

EF

，再根據(jù)△ADE∽△BEF可得

DE

EF

=

AD

BE

，然后代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計算即可得解．

解答：（1）證明：在正方形ABCD中，∠A=∠B=90°，
∵EF⊥DE，
∴∠2+∠3=180°-90°=90°，
又∵∠1+∠2=180°-90°=90°，
∴∠1=∠3，
∴△ADE∽△BEF；

（2）解：∵正方形ABCD的邊長為4，AE=x，
∴BE=4-x，
∵△ADE∽△BEF，
∴

AD

BE

=

AE

BF

，
即

4

4-x

=

x

y

，
∴y=-

1

4

x²+x；

（3）解：∵△ADE∽△EDF，
∴

AD

AE

=

DE

EF

，
∵△ADE∽△BEF，
∴

DE

EF

=

AD

BE

，
∴

AD

AE

=

AD

BE

，
∴AE=BE，
∴點E為AB的中點，
故，當(dāng)E點在AB上運動到AB的中點位置時，△ADE∽△EDF．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，主要涉及相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，找出三角形相似的條件并熟記相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，用阿拉伯?dāng)?shù)字加弧線表示角更形象直觀．