Question

如圖，已知拋物線y=-

2

3

x²+

4

3

x+2的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D．點(diǎn)M從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B運(yùn)動(dòng)，過(guò)M作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)P，交BC于Q．
（1）求點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)了x（秒）時(shí)，四邊形OBPC的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范圍；
（3）在線段BC上是否存在點(diǎn)Q，使得△DBQ成為以BQ為一腰的等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線解析式，令y=0，x=0，可求B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（x，y），由S_{四邊形OBPC}=S_△OPC+S_△OPB可列出S與x的函數(shù)關(guān)系式，由于B（3，0），∴0≤x≤3；
（3）∵BQ為一腰，有兩種可能：①BQ=DQ，②BQ=BD=2，都可由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比，求出OM、MQ的長(zhǎng)．

解答：解：（1）把x=0代入y=-

2

3

x²+

4

3

x+2得點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（0，2）
把y=0代入y=-

2

3

x²+

4

3

x+2得點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（3，0）

（2）連接OP，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（x，y）
S_{四邊形OBPC}=S_△OPC+S_△OPB=

1

2

×2×x+

1

2

×3×y
=x+

3

2

（-

2

3

x²+

4

3

x+2）
∵點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)上停止，
∴0≤x≤3
∴S=-（x-

3

2

）²+

21

4

（0≤x≤3）

（3）存在．
BC=

OB2+OC2

=

13

①若BQ=DQ
∵BQ=DQ，BD=2
∴BM=1
∴OM=3-1=2
∴tan∠OBC=

QM

BM

=

OC

OB

=

2

3

∴QM=

2

3

所以Q的坐標(biāo)為Q（2，

2

3

）．
②若BQ=BD=2
∵△BQM∽△BCO，
∴

BQ

BC

=

QM

CO

=

BM

BO

∴

2

13

=

QM

2

∴QM=

4 13

13

∵

BQ

BC

=

BM

OB

∴

2

13

=

BM

3

∴BM=

6 13

13

∴OM=3-

6 13

13

所以Q的坐標(biāo)為Q（3-

6 13

13

，

4 13

13

）．
綜上所述，Q的坐標(biāo)為Q（2，

2

3

）或Q（3-

6 13

13

，

4 13

13

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的運(yùn)用，坐標(biāo)系里面積表示方法，及尋找特殊三角形的條件問(wèn)題，涉及分類討論和相似三角形的運(yùn)用．