Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm．設(shè)P，Q分別為BD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)P自點(diǎn)D沿DB方向作勻速移動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)Q自點(diǎn)B沿BC方向向點(diǎn)C作勻速移動(dòng)，移動(dòng)的速度均為1cm/s，設(shè)P，Q移動(dòng)的時(shí)間為t（0＜t≤4）．
（1）寫(xiě)出△PBQ的面積S（cm²）與時(shí)間t（s）之間的函數(shù)表達(dá)式，當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值，最大值是多少？
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ為等腰三角形？
（3）△PBQ能否成為等邊三角形？若能，求t的值；若不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）△BPQ中，可根據(jù)Q的速度用時(shí)間t表示出底邊BQ的長(zhǎng)，而B(niǎo)Q邊上的高，可用BP•sinPBQ來(lái)表示，根據(jù)三角形的面積公式即可求出S、t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得出S的最大值．
（2）本題要分情況討論：
①PB=BQ，可用t表示出BP，BQ的長(zhǎng)，即可根據(jù)題設(shè)的等量關(guān)系求出t的值．
②PQ=BQ，過(guò)P作BD的垂線，設(shè)垂足為N，那么BN=

BP

2

，然后在直角三角形BQN中，用BN的長(zhǎng)和∠DBC的正弦值表示出BN聯(lián)立前面BN的表達(dá)式即可求出t的值．
③PB=PQ，過(guò)P作PM⊥BQ與M，解法同②類(lèi)似．
（3）如果三角形BPQ為等邊三角形，必為（2）題三種條件中的一種，然后按（2）的條件判斷三邊是否相等即可．
（其實(shí)本題可直接得出△PBQ不是等邊三角形，因?yàn)椤螾BQ不可能是60°）．

解答：解：（1）如圖1，自點(diǎn)P向BC引垂線，垂足為M，則PM∥DC，
∴

PM

DC

=

BP

BD

．
∵DC=AB=3，BC=4，
∴BD=

BC2+DC2

=

42+32

=5．
當(dāng)P，Q運(yùn)動(dòng)t秒后，
DP=BQ=1•t=t，BP=5-t．
∴PM=

BP•DC

BD

=

(5-t)•3

5

=

15-3t

5

．
∴S_△PBQ=

1

2

•BQ•PM=

1

2

•t•

15-3t

5

=-

3

10

（t-

5

2

）²+

15

8

．
∵0＜t≤4，
∴當(dāng)t=

5

2

時(shí)，S取得最大值，最大值為

15

8

．

（2）若△BPQ是等腰三角形．
①如圖2，當(dāng)PB=PQ時(shí)，自點(diǎn)P向BC引垂線，垂足為M，則有BM=MQ．
方法一：
由△BMP∽△BCD，得

BM

BC

=

BP

BD

，
∴BM=

BP•BC

BD

=

(5-t)•4

5

=

20-4t

5

．
∴

20-4t

5

=

t

2

，
解得t=

40

13

．
方法二：
在Rt△BMP中，BP=5-t，BM=

t

2

，cos∠DBC=

BM

BP

=

BC

BD

=

4

5

．
∴

t 2

5-t

=

4

5

，
解得t=

40

13

．
②當(dāng)BQ=BP時(shí)，有t=5-t，解得t=

5

2

．
③如圖3，當(dāng)BQ=PQ時(shí)，自點(diǎn)Q向BD引垂線，垂足為N．
由Rt△BNQ∽R(shí)t△BCD，
得

BN

BC

=

BQ

BD

．
∴

5-t 2

4

=

t

5

，
解得t=

25

13

．

（3）不能．
若△PBQ為等邊三角形，則BQ=BP=PQ．
由（2）②，知當(dāng)BQ=BP時(shí)，t=

5

2

．
由（2）①，知當(dāng)BP=PQ時(shí)，t=

40

13

．
∴BQ=BP與BP=PQ不能同時(shí)成立，∴△PBQ不可能為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題，考查了矩形的性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用、等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)．
（2）題在不確定等腰三角形的腰和底邊的情況下要分類(lèi)討論．