Question

如圖，點M（m，n）在第一象限，且2

m-4

+3

8-2m

=n-4，過O、M兩點作圓分別與x軸正半軸，y軸正半軸交于A、B兩點，C在弧AO上，BC交OM于D，且CO=CD．
（1）求M點的坐標；
（2）若∠BDM=60°，連AM，求

AM

OB

的值；
（3）過D作DH⊥AB于H，下列結(jié)論：①DH+

1

2

AB的值不變；②DH+AB的值不變，其中有且只有一個結(jié)論是正確的，請你作出正確判斷并予以證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二次根式有意義的條件可以求得m、n的值，即可求出點M的坐標；
（2））根據(jù)AB是直徑，∠BOM=∠MOA=45°，得出△MAB是等腰直角三角形，再根據(jù)∠BDM=60°，得出△OCD是等邊三角形，即可得出∠BAO=∠BMO=60°，最后根據(jù)∠BDM=60°，得出△DBM是等邊三角形，從而求出

AM

OB

的值；
（3）先證出D為△BOA內(nèi)心，再過點D作DF⊥OA于點F，DE⊥BO于點E，得出四邊形EOFD是正方形，即可證出OA+OB=2HD+AB，再過點M做MG⊥x軸，MN⊥y軸，垂足分別為G，N，
證出△BMN≌△AMG，即可得出OB+OA=8，從而得出①的值不變．

解答：解：（1）∵2

m-4

+3

8-2m

=n-4，
∴

m-4≥0 8-2m≥0

解得，m=4，
∴n=4，
∴M點的坐標（4，4）；

（2）∵AB是直徑，∠BOM=∠MOA=45°，
∴等腰Rt△MAB，AM=

2

2

AB，
∵∠BDM=60°，
∴∠ODC=60°，
∵CO=CD，
∴△OCD是等邊三角形，
∴∠BAO=∠BMO=60°，
∵∠BDM=60°，
∴△DBM是等邊三角形，
∴OB=

3

2

AB，
∴

AM

OB

=

2

3

=

6

3

；

（3）由圖可知：
∵CO=CD，∠ODC=∠D0C，
∴∠ODC=45°+∠OBC，∠D0C=45°+∠AOC=45°+∠ABC，
∴∠OBC=∠ABC，D為△BOA內(nèi)心，
過點D作DF⊥OA于點F，DE⊥BO于點E，
∴DH=DE=DF，BH=BE，AH=AF，
∠DEO=∠EOF=∠OFD=90°，
∴四邊形EOFD是正方形，
∴BE+AF=BH+AF=AB，
∴OA+OB=OE+BE+OF+AF=DH+BE+DH+AF=2HD+AB，
過點M做MG⊥x軸，MN⊥y軸，垂足分別為G，N，
則MG=MN=4，
∴ON=OG=4，
又∵∠BAM=∠BOM=45°，
∠ABM=∠MOA=45°，
∴∠ABM=∠BAM，
∴MB=MA，
∴△BMN≌△AMG，
∴BN=AG，
∴OB+OA=ON+BN+OA=ON+AG+OA=ON+OG=4+4=8，
∴2HD+AB=8，
∴HD+

1

2

AB=4，
故①DH+

1

2

AB的值不變．

點評：此題考查了三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心，用到的知識點是等邊三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、二次根式有意義的條件等，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線．