Question

對于拋物線y=-mx²-4mx-n（m≠0）與x軸的交點為A（-1，0），B（x₂，0），則下列說法：
①一元二次方程mx²+4mx+n=0的兩根為x₁=-1，x₂=-3；
②原拋物線與y軸交于C點，CE∥x軸交拋物線于E點，則CE=4；
③點D（2，y₁），點F（-6，y₂）在原拋物線上，則y₂≤y₁；
④拋物線y=mx²+4mx+n與原拋物線關(guān)于x軸對稱．
其中正確的說法有（　�。�

Answer 1

分析：先求出拋物線y=-mx²-4mx-n（m≠0）的對稱軸為直線x=-2，根據(jù)拋物線的對稱性得到x₂=-3，再根據(jù)拋物線與x軸的交點得到一元二次方程mx²+4mx+n=0的兩根為x₁=-1，x₂=-3；由于C點到對稱軸的距離為2，所以當(dāng)CE∥x軸交拋物線于E點，則CE=4；由于點D（2，y₁）和點F（-6，y₂）關(guān)于直線x=-2對稱，所以y₂=y₁；先確定兩拋物線的頂點坐標(biāo)（-2，4m-n）和（-2，-4m+n），然后根據(jù)拋物線的性質(zhì)和關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)特征可判斷拋物線y=mx²+4mx+n與原拋物線關(guān)于x軸對稱．

解答：解：拋物線y=-mx²-4mx-n（m≠0）的對稱軸為直線x=-

-4m

2×(-m)

=-2，
∵拋物線y=-mx²-4mx-n（m≠0）與x軸的交點為A（-1，0），B（x₂，0），
∴x₂=-3，
∴一元二次方程mx²+4mx+n=0的兩根為x₁=-1，x₂=-3，所以①正確；
∵拋物線的對稱軸為直線x=-2，
∴C點到對稱軸的距離為2，
∴當(dāng)拋物線與y軸交于C點，CE∥x軸交拋物線于E點，則CE=4，所以②正確；
∵點D（2，y₁）和點F（-6，y₂）關(guān)于直線x=-2對稱，則y₂=y₁，所以③錯誤；
④y=-mx²-4mx-n=-m（x+2）²+4m-n，而y=mx²+4mx+n=m（m+2）²-4m+n，
點（-2，4m-n）與點（-2，-4m+n）關(guān)于x軸對稱，
∴拋物線y=mx²+4mx+n與原拋物線關(guān)于x軸對稱，所以④正確．
故選D．

點評：本題考查了拋物線與x軸交點：求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標(biāo)，令y=0，即ax²+bx+c=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標(biāo)；二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點與一元二次方程ax²+bx+c=0根之間的關(guān)系，△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)：△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．