Question

已知：如圖，拋物線與軸的負(fù)半軸相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)（0，3），且∠的余切值為．

（1）求該拋物線的表達(dá)式，并寫出頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)該拋物線的對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，與直線相交于點(diǎn)．點(diǎn)在直線上，如果點(diǎn)是△的重心，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，將（1）所求得的拋物線沿軸向上或向下平移后頂點(diǎn)為點(diǎn)，寫出平移后拋物線的表達(dá)式．點(diǎn)在平移后的拋物線上，且△的面積等于△的面積的2倍，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

 

Answer 1

【答案】

（1），（1，4）（2）（1，6）．（3）、

【解析】（1）由點(diǎn)，可知 ．

在Rt△中，．

即得點(diǎn)（－1，0）．                                                       （1分）

由拋物線經(jīng)過點(diǎn)、，

得 

解得 

所以，所求拋物線的表達(dá)式為．                               （2分）

頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，4）．                                                  （1分）

（2）該拋物線的對(duì)稱軸直線為．                                           （1分）

由題意，可知點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3），且點(diǎn)（1，3）為的中點(diǎn)．

∴．                                                              （1分）

∵點(diǎn)是△的重心，

∴．

即得．                                                            （1分）

于是，由點(diǎn)在直線上，得點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，6）．                          （1分）

（3）由，可知將拋物線向上平移2個(gè)單位，

得平移后的拋物線的表達(dá)式為．                               （1分）

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，n）．

△和△邊上高分別為、1，

于是，由△的面積等于△的面積的2倍，

得．

解得，．

∵點(diǎn)在拋物線上，

∴，．                                                        （2分）

∴點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、．                               （1分）

（1）求出OB，根據(jù)已知得出tan∠OAB=，求出OA，即可求出A的坐標(biāo)，代入拋物線即可求出拋物線的表達(dá)式，化成頂點(diǎn)式即可求出D的坐標(biāo)；

（2）求出C的坐標(biāo)，求出E的坐標(biāo)，得出DE，求出PD、PE，即可得出P的坐標(biāo)；

（3）根據(jù)P、D的坐標(biāo)得出拋物線相上平移兩個(gè)單位即可得出新拋物線，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n）．求出△MPD和△BPD邊PD上高分別為|m-1|、1，根據(jù)面積得出|m-1|=2，求出m，代入拋物線求出n即可．