Question

【題目】如圖，在中，，以為直徑的⊙交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接、，．

（1）求證：是⊙的切線；

（2）若，⊙半徑為2，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AD=6．

【解析】

(1)連接OD．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和切線的判定定理即可得到結(jié)論；

(2)連接，利用直徑所對(duì)的圓周角是直角，證得ED=EA=EC，利用三角形中位線定理求得∠A=30°，再利用直角三角形中30度角的性質(zhì)，即可求解．

(1)連接，

∵ED=EA，
∴∠A=∠ADE，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠BDO，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°．
∴∠ADE+∠BDO=90°，
∴∠ODE=90，
∴DE是⊙O的切線；

(2)連接，如圖：

∵ED=EA，
∴∠A=∠ADE，

∵BC為直徑，
∴∠CDB=∠CDA=90°，

∵∠A+∠ACD=90°，∠ADE+∠CDE=90°，

∴∠ACD=∠CDE，

∴ED=EC，
∴ED=EA=EC，
∴點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，

∵點(diǎn)O為BC中點(diǎn)，

∴OE∥AB，

∴∠CEO=∠A=30°，

在中，∠OCE=90°，OC=2，∠CEO =30°，

∴，

∴，

在中，∠ADC=90°，，∠A =30°，

∴，

．