Question

【題目】如圖1，B（2m，0），C（3m，0）是平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)，其中m為常數(shù)，且m＞0，E（0，n）為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，以BC為邊在x軸上方作矩形ABCD，使AB=2BC，畫(huà)射線(xiàn)OA，把△ADC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△A′D′C′，連接ED′，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+n（a≠0）過(guò)E，A′兩點(diǎn)．

（1）填空：∠AOB= °，用m表示點(diǎn)A′的坐標(biāo)：A′（ ， ）；
（2）當(dāng)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為A′，拋物線(xiàn)與線(xiàn)段AB交于點(diǎn)P，且=時(shí)，△D′OE與△ABC是否相似？說(shuō)明理由；
（3）若E與原點(diǎn)O重合，拋物線(xiàn)與射線(xiàn)OA的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)M，過(guò)M作MN⊥y軸，垂足為N：
①求a，b，m滿(mǎn)足的關(guān)系式；
②當(dāng)m為定值，拋物線(xiàn)與四邊形ABCD有公共點(diǎn)，線(xiàn)段MN的最大值為10，請(qǐng)你探究a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）45�。籱��；﹣m　
（2）

解：△D′OE∽△ABC，理由如下：

由已知得：A（2m，2m），B（2m，0），

∵，

∴P（2m，m），

∵A′為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，

∴設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y=a（x﹣m）2﹣m，

∵拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)E（0，n），

∴n=a（0﹣m）2﹣m，即m=2n，

∴OE：OD′=BC：AB=1：2，

∵∠EOD′=∠ABC=90°，

∴△D′OE∽△ABC；

（3）

解：①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合時(shí)，E（0，0），

∵拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)E，A，

∴，

整理得：am+b=﹣1，即b=﹣1﹣am；

②∵拋物線(xiàn)與四邊形ABCD有公共點(diǎn)，

∴拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)C時(shí)的開(kāi)口最大，過(guò)點(diǎn)A時(shí)的開(kāi)口最小，

若拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)C（3m，0），此時(shí)MN的最大值為10，

∴a（3m）2﹣（1+am）3m=0，

整理得：am=，即拋物線(xiàn)解析式為y=x2﹣x，

由A（2m，2m），可得直線(xiàn)OA解析式為y=x，

聯(lián)立拋物線(xiàn)與直線(xiàn)OA解析式得：，

解得：x=5m，y=5m，即M（5m，5m），

令5m=10，即m=2，

當(dāng)m=2時(shí)，a=；

若拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A（2m，2m），則a（2m）2﹣（1+am）2m=2m，

解得：am=2，

∵m=2，

∴a=1，

則拋物線(xiàn)與四邊形ABCD有公共點(diǎn)時(shí)a的范圍為≤a≤1．

【解析】（1）由B與C的坐標(biāo)求出OB與OC的長(zhǎng)，根據(jù)OC﹣OB表示出BC的長(zhǎng)，由題意AB=2BC，表示出AB，得到AB=OB，即三角形AOB為等腰直角三角形，即可求出所求角的度數(shù)；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：OD′=D′A′=m，即可確定出A′坐標(biāo)；
（2）△D′OE∽△ABC，理由如下：根據(jù)題意表示出A與B的坐標(biāo)，由，表示出P坐標(biāo)，由拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為A′，表示出拋物線(xiàn)解析式，把點(diǎn)E坐標(biāo)代入整理得到m與n的關(guān)系式，利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的三角形相似即可得證；
（3）①當(dāng)E與原點(diǎn)重合時(shí)，把A與E坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c，整理即可得到a，b，m的關(guān)系式；
②拋物線(xiàn)與四邊形ABCD有公共點(diǎn)，可得出拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)C時(shí)的開(kāi)口最大，過(guò)點(diǎn)A時(shí)的開(kāi)口最小，分兩種情況考慮：若拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)C（3m，0），此時(shí)MN的最大值為10，求出此時(shí)a的值；若拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A（2m，2m），求出此時(shí)a的值，即可確定出拋物線(xiàn)與四邊形ABCD有公共點(diǎn)時(shí)a的范圍．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等腰直角三角形和二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°；二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱(chēng)軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)才能正確解答此題．