Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，B點坐標為（3，0），與y軸交于點C（0，﹣3）
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P在拋物線位于第四象限的部分上運動，當四邊形ABPC的面積最大時，求點P的坐標和四邊形ABPC的最大面積．
（3）直線l經(jīng)過A、C兩點，點Q在拋物線位于y軸左側(cè)的部分上運動，直線m經(jīng)過點B和點Q，是否存在直線m，使得直線l、m與x軸圍成的三角形和直線l、m與y軸圍成的三角形相似？若存在，求出直線m的解析式，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把B、C兩點坐標代入拋物線解析式可得 ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3

（2）

解：如圖1，連接BC，過Py軸的平行線，交BC于點M，交x軸于點H，

在y=x2﹣2x﹣3中，令y=0可得0=x2﹣2x﹣3，解得x=﹣1或x=3，

∴A點坐標為（﹣1，0），

∴AB=3﹣（﹣1）=4，且OC=3，

∴S△ABC= ABOC= ×4×3=6，

∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴直線BC解析式為y=x﹣3，

設(shè)P點坐標為（x，x2﹣2x﹣3），則M點坐標為（x，x﹣3），

∵P點在第四限，

∴PM=x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x，

∴S△PBC= PMOH+ PMHB= PM（OH+HB）= PMOB= PM，

∴當PM有最大值時，△PBC的面積最大，則四邊形ABPC的面積最大，

∵PM=﹣x2+3x=﹣（x﹣ ）2+ ，

∴當x= 時，PMmax= ，則S△PBC= × = ，

此時P點坐標為（ ，﹣ ），S四邊形ABPC=S△ABC+S△PBC=6+ = ，

即當P點坐標為（ ，﹣ ）時，四邊形ABPC的面積最大，最大面積為 ；

（3）

解：如圖2，設(shè)直線m交y軸于點N，交直線l于點G，

則∠AGP=∠GNC+∠GCN，

當△AGB和△NGC相似時，必有∠AGB=∠CGB，

又∠AGB+∠CGB=180°，

∴∠AGB=∠CGB=90°，

∴∠ACO=∠OBN，

在Rt△AON和Rt△NOB中

∴Rt△AON≌Rt△NOB（ASA），

∴ON=OA=1，

∴N點坐標為（0，﹣1），

設(shè)直線m解析式為y=kx+d，把B、N兩點坐標代入可得 ，解得 ，

∴直線m解析式為y= x﹣1，

即存在滿足條件的直線m，其解析式為y= x﹣1

【解析】（1）由B、C兩點的坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式；
（2）連接BC，則△ABC的面積是不變的，過P作PM∥y軸，交BC于點M，設(shè)出P點坐標，可表示出PM的長，可知當PM取最大值時△PBC的面積最大，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得P點的坐標及四邊形ABPC的最大面積；
（3）設(shè)直線m與y軸交于點N，交直線l于點G，由于∠AGP=∠GNC+∠GCN，所以當△AGB和△NGC相似時，必有∠AGB=∠CGB=90°，則可證得△AOC≌△NOB，可求得ON的長，可求出N點坐標，利用B、N兩的點坐標可求得直線m的解析式．本題為二次函數(shù)的綜合應用，涉及知識點有待定系數(shù)法、二次函數(shù)的最值、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等．在（2）中確定出PM的值最時四邊形ABPC的面積最大是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出滿足條件的直線m的位置是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，特別是第（2）問和第（3）問難度較大．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用拋物線與坐標軸的交點和相似三角形的判定的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一元二次方程的解是其對應的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．；相似三角形的判定方法:兩角對應相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似； 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對應成比例，兩三角形相似（SSS）．