Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，作CE⊥AB干點E，BE=2OE，延長AB至點D，使得BD=AB，P是弧AB(異于A，B)上一個動點，連接AC、PE．

（1）若AO=3，求AC的長度；

（2）求證：CD是⊙O的切線；

（3）點P在運動的過程中是否存在常數(shù)k，使得PE=k·PD，如果存在，求k的值，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)；(2)見解析；(3)存在，

【解析】

（1）AO=3，即半徑為3，所以AB=6，可算出AE=4，AB是直徑，且AE⊥EC，易證明△AEC∽△CEB，則有，即可算出AC長．

（2）連接OC，由△AEC∽△CEB，可得 =，再證明=，又∠OEC=∠CED可證明△OEC∽△CED，所以∠ECD=∠EOC，所以∠OCE+∠ECD=∠OCE+∠COE=,即可證明CD為切線．

（3）連接OP，由，且∠POE=∠DOP，所以△OEP∽△OPD，即可證明．

解：（1）∵AO=3,

∴OB=3，AB=BD=6，AE=4

∵BE=2OE

∴OE=1,BE=2

∵AB是直徑

∴∠ACB=

∵∠AEC=

∴∠CAB=∠BCE

∴△AEC∽△CEB

∴=24

∴AC=2

（2）如下圖，連接OC，

由（1）中△AEC∽△CEB，

可得 =，EC=OE

ED=EB+BD=2OE+6OE=8OE

∴=，

∵∠OEC=∠CED

∴△OEC∽△CED

∴∠ECD=∠EOC，

∴∠OCE+∠ECD=∠OCE+∠COE=

∴OC⊥CD，

即CD為⊙O的切線．
（3）存在， ，如下圖，連接OP

∴OP=OB=3OE

∵OD=9OE

∴

又∵∠EOP=∠POD

∴△OEP∽△OPD

∴

∴k=．