Question

【題目】如圖，在正方形 ABCD 中，E 為直線 AB 上的動(dòng)點(diǎn)（不與 A、B 重合），作射線 DE 并繞點(diǎn) D 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 45°，交直線 BC 于點(diǎn) F，連接 EF．

探究：當(dāng)點(diǎn) E 在邊 AB 上，求證：EF＝AE+CF．

應(yīng)用：(1)當(dāng)點(diǎn) E 在邊 AB 上，且 AD＝2 時(shí)，求△BEF 的周長(zhǎng)；

(2)當(dāng)點(diǎn) E 在 BA 延長(zhǎng)線上時(shí)，判斷 EF，AE，CF 三者的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】探究：證明見(jiàn)解析；應(yīng)用：(1)△BEF 的周長(zhǎng)為4；(2)EF＝CF﹣AE，理由見(jiàn)解析.

【解析】

探究：作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△DAG≌△DCF（SAS），得∠1=∠3，DG=DF，再證明△GDE≌△FDE（SAS），根據(jù)EG的長(zhǎng)可得結(jié)論；
應(yīng)用：
（1）利用探究的結(jié)論計(jì)算三角形周長(zhǎng)為4；
（2）分兩種情況：①點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，EF=CF-AE，②當(dāng)點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)， EF=AE-CF，兩種情況都是作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明兩三角形全等得線段相等，根據(jù)線段的和與差得出結(jié)論．

探究：

如下圖：延長(zhǎng) BA 到 G，使 AG＝CF，連接 GD，

∵四邊形 ABCD 為正方形，∴DA＝DC，∠DAG＝∠DCF＝90°，

∴△DAG≌△DCF（SAS），

∴∠1＝∠3，DG＝DF，

∵∠DAC＝90°，∠EDF＝45°，

∴∠EDG＝∠1+∠2＝∠3+∠2＝45°＝∠EDF，

∵DE＝DE，

∴△GDE≌△FDE（SAS），

∴EF＝EG＝AG+AE＝AE+CF；

應(yīng)用：

(1)△BEF 的周長(zhǎng)＝BE+BF+EF，

由探究得：△BEF 的周長(zhǎng)＝BE+BF+EF＝AB+BC＝2+2＝4，

(2)點(diǎn) E 在 BA 的延長(zhǎng)線上時(shí)，如下圖：

EF＝CF﹣AE，理由是：

在 CB 上取 CG＝AE，連接 DG，

∵∠DAE＝∠DCG＝90°，AD＝DC，

∴△DAE≌△DCG（SAS），

∴DE＝DG，∠EDA＝∠GDC，

∵∠ADC＝90°，∠EDG＝90°，

∴∠EDF+∠FDG＝90°，

∵∠EDF＝45°，

∴∠FDG＝90°﹣45°＝45°， 在△EDF 和△GDF 中，

DE＝DG，∠EDF＝∠GDF，DF＝DF，∴△EDF≌△GDF（SAS），

∴FE＝FG，

∴EF＝CF﹣CG＝CF﹣AE．