Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=20，點P在AB上，AP=6．點E以每秒2個單位長度的速度，從點P出發(fā)沿線段PA向點A作勻速運動，點F同時以每秒1個單位長度的速度，從點P出發(fā)沿線段PB向點B作勻速運動，點E到達(dá)點A后立刻以原速度沿線段AB向點B運動，點F運動到點B時，點E隨之停止．在點E、F運動過程中，以EF為邊作正方形EFGH，使它與△ABC在線段AB的同側(cè)．設(shè)E、F運動的時間為t秒（t＞0），正方形EFGH與△ABC重疊部分的面積為S．

（1）當(dāng)t=1時，正方形EFGH的邊長是 ；當(dāng)t=4時，正方形EFGH的邊長是 ；

（2）當(dāng)0＜t≤3時，求S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】（1）3； 8. （2）S=．

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)t=1時，根據(jù)PE=2t，PF=t即可求出EF的值，當(dāng)t=4時，點E運動到點A后返回，PE=2AP-2t，PF=t，由此即可求出EF的值；

（2）當(dāng)點H在線段AC上時，可求出t=，可分兩種情況討論：當(dāng)0＜t≤時，S=S正方形EFGH=EF2，只需用t的代數(shù)式表示出EF即可解決問題；當(dāng)＜t≤3時，S=S五邊形EFGMN=S正方形EFGH-S△MHN=EF2-HNHM，只需用t的代數(shù)式分別表示出EF、HN、HM即可解決問題．

試題解析：（1）當(dāng)t=1時，PE=2×1=2，PF=1×1=1，EF=EP+PF=2+1=3．

當(dāng)t=4時，PE=12-2×4=4，PF=1×4=4，EF=EP+PF=4+4=8．

（2）當(dāng)點H在線段AC上時，

則有AE=HE=EF，即6-2t=3t，

解得：t=．

①當(dāng)0＜t≤時，

EF=EP+PF=2t+t=3t，

則S=9t2；

②當(dāng)＜t≤3時，

∵∠C=90°，AC=BC，

∴∠A=45°．

∵四邊形EFGH是正方形，

∴HE=EF=3t，∠H=∠HEF=90°，

∴∠ANE=90°-45°=45°，

∴∠ANE=∠A=45°，

∴NE=AE=AP-EP=6-2t，

∴HN=HE-NE=3t-（6-2t）=5t-6．

∵∠HNM=∠ANE=45°，

∴∠HMN=90°-45°=45°，

∴∠HMN=∠HNM=45°，

∴HM=HN=5t-6，

∴S=S正方形EFGH-S△NHM

=（3t）2-（5t-6）2

=-t2+30t-18．

綜上所述：S與t的函數(shù)關(guān)系式為

S=．